2次関数

質問

場合分けがよくわからないのでおしえてください

kを、k≧0をみたす定数とする。2次関数
Y=ｆ（ｘ）=-(x＾2)＋2kx　　-4x＋４
(0≦x≦1)
の最大値をもとめる問題で、
標準式に変形する方法はわかります。
変形すると
f(x)=-(x-k)＾2＋(k＾2)ー４ｋ＋4
(0≦x≦1)

となり頂点は(ｋ、(k＾2)ー４ｋ＋4)
となります。

ただし、なぜ、
(i)0≦k≦1
(ii)1<K
の2種類に場合分けするのでしょうか？

回答No.2

noname#8027 · ベストアンサー

上に凸の２次曲線が移動していく様子を想像してみてください。
その１つで止めてみて、0≦x≦1の範囲において最大値を考える。
ってことは、頂点のｘ座標であるｋが０から１の間に入っていれば、最大値は頂点
つまり、0≦k≦1の場合です。

また、頂点がｘ軸方向の負の位置にある場合、
つまり、k＜0の場合は、
そもそもの問題の大前提からして考えなくて良い。

また、頂点が0≦x≦1より右にある場合、
つまり1<kの場合は、
右上がりの曲線なので最大値はx=1のときという事になります。

また、質問がk=1の等号の場合をどちらに含めるとかという疑問であれば、(i)、(ii)のどちらに含めてもいいと思います。k=1を計算すれば、どちらの計算式でも同じ答えになるはずです。

回答No.1

elmclose

その求めた頂点(ｋ、(k＾2)ー４ｋ＋4)
が、元の関数f(x)の定義域内にあるかどうかに応じて、この頂点においてf(x)が最大になるか、他のx（つまりx=1）においてf(x)が最大になるか、異なってくるからではないでしょうか。