関数

質問

関数f(x)=(x＾2)ー４ｘ＋4の定義域がp-1≦x≦p＋1
における最小値をm,最大値Mとおく
(i)mをpで表す
(ii)Mをpで表す
の問題で、最小値の求め方はわかったのですが、最大値の求め方がわかりません。
解く方法で、なぜ最大値を求める際に中間点をもとめるのですか？
最小値は中間点はもとめなかったのに。
おしえてください

回答No.4

ma-chan45

ＮＯ．１です。
補足ありがとうございます。

回答です。
下に凸の2次関数の場合、ｘの定義域の場所によってｙが最大値を取る時のｘの値が変わってきます。
極端に言うと、関数の左側に定義域があれば最大値を取るのはｘ＝ｐ－１のときになりますし、関数の右側に定義域があれば最大値を取るのはｘ＝ｐ＋１のときになります。また、ｘの中間点が関数の頂点と重なるときにはｐ－１、ｐ＋１ともにｙの最大値を取るということになります。
さぁ、ここで2次関数のグラフを想像してみましょう。さらに、ｘの定義域の中間点が2次関数の頂点にくるように定義域を指定します。すると、ｘ＝ｐ－１、ｐ＋１のときｙが最大になっていますね。では、今度はｘの中間点を2次関数の頂点から左へ動かしてみてください。どれだけ動かしても良いですよ。ちょっとでも、たくさんでも。そうすると、ｙが最大値を取るときのｘの値はｐ－１になりますね。逆に、ｘの中間点を2次関数の頂点から右へ動かすと、ｙが最大値を取るときのｘの値はｐ＋１になります。
つまり、ｘの中間点が2次関数の頂点の左側にあるか右側にあるかでｙが最大値を取るときのｘの値が変わるということです。したがって、最大値を求める際にはｘの定義域の中間点を求める必要があるのです。

・・・と、こんな感じでしょうか？分かります？不明な点がありったら、聞いてくださいね。

回答No.3

win000

中間点とは恐らく、xの定義域のちょうど真ん中のx座標が
与式の軸のx座標と一致する時のpの値を言っているのだと
思いますが、このときを境にして、与式が最大値を取る
場合のxの値が異なるからです。

この問題では、固定された２次関数に対して、pの値に
従って定義域が移動します。
質問者さんの言われる「中間点」よりもpが小さい場合は
定義域の左端、すなわちx=p-1のときにＭが最大値を
取ります。逆に「中間点」よりも大きいときは右端で、
「中間点」では両端のy座標が同じになるので２ヶ所で
最大値を取ります。
これは数式を見ているだけでは解りにくいので、
２さんの仰るようにグラフを書くと解りやすいです。

回答No.2

neue_reich

単純に関数の特性のせいだと思いますよ。

f(x)=(x＾2)-4x+4=(x-2)^2
となりますから、下に凸な関数です。
最小値はx=2の際にf(2)=0　ですが、
最大値は…　グラフを書くとわかりますが２つ存在しますよね。

No1さんと同じく、私も中間点とは何か、がわかりませんが、
まずグラフを書いて考えてみればわかりやすいと思いますよ。

回答No.1

ma-chan45

こんにちは。
回答でなくて申し訳ないのですが・・・。

中間点というのはなんの中間点なのでしょう？
ｘの中間点ということでよいのでしょうか？

補足

定義域がp-1≦x≦p＋1
の中点です