ベクトルの問題で質問

質問

（問題）
原点をＯとする座標空間の４点Ａ（√３、３、０）、Ｂ（－√３、３、０）
Ｃ（０、２、２）、Ｐ（０、１、０）および、平面ＡＢＣ上にＳをとる。
ベクトルＰＳが平面ＡＢＣに直行するときベクトルＰＳを成分で表せ。

（自分の間違った解答）
Ｓ＝α（ベクトルＢＣ）＋β（ベクトルＢＡ）
　＝α（√３、－１、２）＋β（２√３、０、０）
と表せる。
したがって（ベクトルＰＳ）＝（√３α＋２√３β、－α－１、２α）・・・※
（ベクトルＰＳ）⊥（ベクトルＢＣ）より８α＋６β＋１＝０・・・(1)
（ベクトルＰＳ）⊥（ベクトルＢＡ）より６α＋１２β＝０・・・(2)
(1)、(2)よりα＝－１／５、β＝１／１０
※に代入して（ベクトルＰＳ）＝（０、－４／５、－２／５）

としましたが、本当の解答は（ベクトルＰＳ）＝（０、８／５、４／５）
となってます。
どこで間違ったのか、なぜ間違ったのかどうすればいいのか教えてください。

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

#1です。
問題文を読み違えていました。すみません。

あなたがＳとしているのは、ベクトルＢＳのことになります。
ベクトルＢＳ＝α（ベクトルＢＣ）＋β（ベクトルＢＡ）

あなたがベクトルＰＳとして計算しているのは、ベクトルＢＳ－ベクトルＯＰです。

ベクトルＰＳ＝ベクトルＢＳ－ベクトルＯＰ

これ、等式として成り立ちませんよね。

ベクトルＰＳ＝ベクトルＰＢ＋ベクトルＢＳ
です。

ベクトルＢＳは既に、あなたがＳとして求めたものなので、あとはベクトルＰＢを求めて、あとはやりかたは同じです。

もしかしたら、ベクトル成分と座標を混同しているのが今回の間違いの原因かもしれませんね。

お礼

いろいろ調べているうちに（ベクトルＯＳ）が（ベクトルＢＳ）だったとは。
勘違いしていました。ありがとうございます。解決しました。

回答No.1

nattocurry

＞Ｓ＝α（ベクトルＢＣ）＋β（ベクトルＢＡ）
＞と表せる。

なぜ？？？

左辺のＳって何ですか？
右辺のα（ベクトルＢＣ）＋β（ベクトルＢＡ）はベクトルなので、左辺もベクトルでなければなりませんが、Ｓってベクトルですか？

さらに、α（ベクトルＢＣ）＋β（ベクトルＢＡ）は何を意味するのですか？
平面ＡＢＣと平行なベクトルでしかありませんよ。
なぜこれでＳを表せると思ったのですか？

補足

＞左辺のＳって何ですか？

（ベクトルＯＳ）です。わかりにくかったようですみません。

＞平面ＡＢＣと平行なベクトルでしかありませんよ。

意味がわからないですが・・・
平面ＡＢＣ上のベクトルのつもりです。

＞なぜこれでＳを表せると思ったのですか？

平面ＡＢＣ上にＳをとる。と問題に書いてあり、Ｓは面ＡＢＣを通る平面上にあります。