ベクトルの問題

質問

△ＡＢＣについて、ベクトルＡＢ、ベクトルＢＣ、ベクトルＣＡに関する内積を、それぞれ（ベクトルＡＢ）・（ベクトルＢＣ）＝ｘ、（ベクトルＢＣ）・（ベクトルＣＡ）＝ｙ、（ベクトルＣＡ）・（ベクトルＡＢ）＝ｚとするとき、△ＡＢＣの面積をｘ、ｙ、ｚを用いて表せ。

△ＡＢＣにおいてＡからＢＣにひいた垂線の足をＯとおいて、Ｏを原点とするＸＹ座標平面上にＢＣとＸ軸が一致するようにあらわして、それぞれの座標をかってにきめて内積と外積の関係から面積を求めようとおもったのですが、先生から外積を使わずに解いてくれといわれました。
もっと簡単な方法があるとのことですが、まったくわかりません。
どなたかヒントをください！
よろしくおねがいします。

回答No.1

oobdoo

以後、ベクトルAB,BC,CAを各々p,q,rと表し、ベクトルaとbの内積を<a,b>、ベクトルaの大きさを|a|と書くことにします。また、0ベクトルを0と省略して書きます。

p+q+r=0なので、r=-p-qです。
x=<p,q>ですから、
y=<q,r>=-<q,p>-<q,q>=-x-|q|
z=<r,p>=-<p,p>-<q,p>=-x-|p|
となります(x,y,zは実数です)。

一方、三角形の面積は、∠ABC=θとおくと、cosθ>0より、
S=(1/2)*|p||q|sinθ=(1/2)*|p||q|(1-(cosθ)^2)^(1/2)
となります。

これから、面積が求められます。-<p,q>=|p||q|cosθであることに注意してください。

補足

y=<q,r>=-<q,p>-<q,q>=-x-|q|
z=<r,p>=-<p,p>-<q,p>=-x-|p|
の部分がわからないです・・・・すいません

あと面積の計算もずっとしてたのですけど途中で降り出しにもどってしまいます。

申し訳ありませんができればもう一度ご解説おねがいいただきたいのですが・・・