空間ベクトル

質問

空間ベクトルの問題で、以下がその問題文です。

空間に3点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)がある。ただし、a>0,b>0,c>0とする。次の問に答えよ。

(1)原点から平面ABCへ下ろした垂線の足をHとするとき、OHをOA,OB,OCを用いて表せ。
(2)|OH|を求めよ。
（OH,OA,OB,OC,|OH|はそれぞれベクトルです。以後、自分の解答指針も同様とします。)

(1)では、
AH=sAB+tAC (s,tは実数とする)
OH=(1-s-t)OA+sOB+tOC
とか、
OH⊥平面ABCより,OH・AB=0,OH・AC=0
とかやってみたのですが、成分表示やらベクトル表示やらでこんがらがってしまいました。

(2)では、実はこの2問の前に、OHと平行なベクトルn=(bc,ca,ab)が求まっていて、OH=kn (kは実数)を使うらしいのですが、(1)が求まらない以上、手が出せません。

どなたかわかる方、宜しくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

質問者さんのやり方の#1さんのやり方でやればできます。

そのヒントをもとに
分かる所までの解答を補足に書いて下さい。
そして分からない箇所があれば補足質問して下さい。

s,tの連立方程式から
s=□,t=△
を求めて下さい。

それを
OH=(1-s-t)OA+sOB+tOC
を代入すれば
(1)の答が求まります。
OH=○*OA+□*OB+△*OC

(2)
> OH=kn, n=(bc,ca,ab)
から
OH=k(bc/a)OA+k(ca/b)OB+k(ab/c)OC

(1)の結果のOHの式で
例えばOAの係数○と{k(bc)/a}を比較すれば
k=abc/{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}
が出てきます。
後は
|OH|=k*|n|
を計算すればいいですね。

お礼

ご解答ありがとうございます。
中々計算が煩雑でしたが、結構規則正しく文字が現れて解けました！

回答No.1

kumipapa

求め方はいろいろなんでしょうが、質問者の方針に従えば、
＞　OH=(1-s-t)OA+sOB+tOC
＞　とか、
＞　OH⊥平面ABCより,OH・AB=0,OH・AC=0

いや、「とか」じゃなくて、「かつ」でしょう。

AH = sAB + tAC とおいて、
OH = OA + AH = OA + sAB + tAC = (1 - s - t)OA + sOB + tOC
OH が A,B,Cを通る平面の法線になるように、
OH ⊥ AB (= OB - OA)　より、{(1 - s - t)OA + sOB + tOC}(OB - OA) = 0
OH ⊥ AC (= OC - OA)　より、{(1 - s - t)OA + sOB + tOC}(OC - OA) = 0
を s, t について解けばよいでしょう。
もちろん、
OA・OA = |OA|^2 = a^2, OB・OB = b^2, OC・OC = c^2
と、OA・OB = OB・OC = OC・OA = 0
は利用。
普通に２元一次連立方程式を解くということです。

お礼

ご解答ありがとうございます。
＞いや、「とか」じゃなくて、「かつ」でしょう
あくまで、この場における説明上の表記であって、解答上の表記ではありません。