連投になります。空間ベクトル

質問

連投になります。空間ベクトル

A(1,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,-1)とする。平面ABCに原点Oから垂線OHを下ろす。
点Hの座標と線分OHの長さを求めよ。

という問題です。解き方を教えていただきたいです。ベクトルはかなり苦手です^^;

解説よろしくお願いします。

回答No.2

passport4000 · ベストアンサー

お答えします。まず、AB=(-1,2,0) AC=(-1,0,-1) を算出します。(後回しでもいいけど)
Hは平面ABC上に存在するのだから、独立な2つのベクトルABとACを用いて、
AH=s×AB+t×AC (sとtは実数)
とおける。変形して、
OH=OA+s×AB+t×AC

また、OHは平面ABCと垂直⇔OH・AB=0 かつ OH・AC=0
を用いると、
OH・AB＝(OA+s×AB+t×AC)・AB
=-1+5s+t
OH・AC=(OA+s×AB+t×AC)・AC
=-1+s+2t
であるから、連立方程式
-1+5s+t＝0
-1+s+2t＝0
を得る。これを解くと、s＝1/9,t=4/9
よって、元の式に代入して、
OH=(4/9,2/9,-4/9)
また、OHの長さは2/3

以上です。大切なのはベクトルの独立性です。

回答No.1

kopanda116

点Hは平面ABC上にあるので，
　　AH = s * AB + t * AC
　　s + t = 1
を満たします

で，ベクトルOHは平面ABCと直交しますから，
　　OH・AB = 0
を満たします

これらの式から連立方程式をとき，sとtを求めると点Hの座標が求められます．

OHの距離は，それから自動的に求めることが出来ます．