【ベクトル】

質問

苦手なベクトル問題です(><)

ベクトルの記号を→で示しています。
例)ABベクトル…AB→

座標平面上の原点をＯとし、Ａ（1/3、0)　B(0、2/3)とする。

負でない実数ｓ、ｔは、s+2t=3を満たしながら動くものとする。

このとき、座標平面上の点PをOP→=sOA→+ｔOB→により定める。

(1)点Pの存在範囲の図示

(2)内積AP→・AP→の最小値

ガイドが少し載っていたのですが、
希望があれば追記しますm(__)m

解法つきでお願いしたいです(/_;)

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞座標平面上の原点をＯとし、Ａ（1/3、0)　B(0、2/3)とする。
＞負でない実数ｓ、ｔは、s+2t=3　…（１）を満たしながら動くものとする。
＞このとき、座標平面上の点PをOP→=sOA→+ｔOB→　…（２）により定める。

Ｐ（ｘ，ｙ）とおく。ベクトルＯＰ＝（ｘ，ｙ）
ベクトルＯＡ＝（1/3、0)，ベクトルＯＢ＝(0、2/3)　（２）に当てはめると
（ｘ，ｙ）＝ｓ（1/3、0）＋ｔ（0、2/3）より
ｘ＝(1/3)ｓ，ｙ＝(2/3)ｔだから、ｓ＝３ｘ，ｔ＝(3/2)ｙ
（１）に当てはめると、３ｘ＋２×(3/2)ｙ＝３より、ｘ＋ｙ＝１
負でない実数ｓ、ｔより、
ｓ＝３ｘ≧０より、ｘ≧０　
ｔ＝(3/2)ｙ≧０より、ｙ≧０

＞(1)点Pの存在範囲の図示
ｘ＋ｙ＝１，ｘ≧０，ｙ≧０の囲む部分で境界も含む。

＞(2)内積AP→・AP→の最小値
ｘ＋ｙ＝１より　ｙ＝１－ｘ…（３）
内積AP→・AP→＝｜ＡＰ｜^2　ＡＰ＝ＯＰ－ＯＡ＝（ｘ－(1/3)，ｙ）
｜ＡＰ｜^2＝（ｘ－1/3）^2＋ｙ^2　（３）を代入して整理する
　　　　　＝２ｘ^2－(8/3)ｘ＋10/9
　　　　　＝２（ｘ－2/3）^2＋2/9
よって、内積AP→・AP→の最小値は２／９（ｘ＝２／３，ｙ＝１／３のとき）

でどうでしょうか？

回答No.1

gohtraw

ｓ＝３－２ｔなのでこれを
ＯＰ＝ｓＯＡ＋ｔＯＢ　に代入して
ＯＰ＝（３－２ｔ）ＯＡ＋ｔＯＢ

各ベクトルの成分は
ＯＡ＝（１／３、０）
ＯＢ＝（０，２／３）
なので、点Ｐの座標は
（（３－２ｔ）／３、２ｔ／３）＝（１－２ｔ／３、２ｔ／３）
したがって点Ｐはｘｙ平面上の直線ｘ＋ｙ＝１　上にあることが判ります。・・・（１）

ここで、ｓ＞＝０でないといけないので
３－２ｔ＞＝０
ｔ＜＝３／２
よって０＜＝ｔ＜＝３／２
したがって点Ｐの存在範囲は上記（１）の０＜＝ｘ＜＝１の範囲となります。

ＡＰ同士の内積ということはＡＰの絶対値の二乗、つまりＡＰ間の距離の二乗ということです。問（１）より、点Ｐの座標はｔを用いて表すことができるので、ＡＰの距離の二乗を計算（多分ｔの二次式）し、最小値を元得れば宜しいかと。