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空間ベクトルの問題を教えてください。

2012/07/14 15:59

座標空間に正四面体OABCがあり、O（０，０，０）、A（４，０，０）、B（２，２√２，-２）、C（２，２√２，２）ベクトルBCはxy平面に垂直である。（１）線分OCをt：１－tに内分する点をP，線分BAを３：１に内分する点をQとする。∠PBQ=θとおくとき、cosθの最大値とそのときのtの値を求めよ。（２）線分PQの長さをの最小値を求めよ。

bombombom123
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数学・算数
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ferien
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2012/07/15 01:17 回答No.3

ANo.2です。　問題の意味を取り違えていたので、訂正します。ANo.2は削除して下さい。＞線分BAを３：１に内分する点をQ をＡＢを３：１に内分すると勘違いしていました。座標空間に正四面体OABCがあり、O（０，０，０）、A（４，０，０）、B（２，２√２，-２）、C（２，２√２，２）＞ベクトルBCはxy平面に垂直である。｜ＯＡ｜＝｜ＡＢ｜＝４＞（１）線分OCをt：１－tに内分する点をP，線分BAを３：１に内分する点をQとする。＞∠PBQ=θとおくとき、cosθの最大値とそのときのtの値を求めよ。ＯＰ＝ｔＯＣ＝（２ｔ，２√２ｔ，２ｔ）ＯＱ＝(3/4)ＯＡ＋(1/4)ＯＢ＝(3/4)（４，０，０）＋(1/4)（２，２√２，-２）＝（７／２，√２／２，－１／２）ＢＰ＝ＯＰ－ＯＢ＝（２ｔ－２，２√２ｔ－２√２，２ｔ＋２）ＢＱ＝ＯＱ－ＯＢ＝（７／２－２，√２／２－２√２，－１／２＋２）＝（３／２，－３√２／２，３／２）ＢＰ・ＢＱ＝(3/2)（２ｔ－２）－（3√2/2）（２√２ｔ－２√２）＋（3/2）（２ｔ＋２）＝３ｔ－３－６ｔ＋６＋３ｔ＋３＝６｜ＢＱ｜＝(3/4)｜ＡＢ｜＝(3/4)×４＝３｜ＢＰ｜^2＝４（ｔ－１）^2＋８（ｔ－１）^2＋４（ｔ＋１）^2 ＝１６ｔ^2－１６ｔ＋１６＝１６（ｔ^2－ｔ+1/4）－４＋１６＝１６（ｔ－1/2）^2＋１２よって、ｔ＝１／２のとき、｜ＢＰ｜の最小値√１２＝２√３ cosθ＝（ＢＰ・ＢＱ）／｜ＢＰ｜・｜ＢＱ｜＝６／３・｜ＢＰ｜｜ＢＰ｜が最小値をとればcosθは、最大値をとるから、ｔ＝１／２のとき、｜ＢＰ｜＝２√３で、cosθの最大値＝６／３・２√３＝１／√３＞（２）線分PQの長さをの最小値を求めよ。ＰＱ＝ＯＱ－ＯＰ＝（7/2－２ｔ，√2/2－２√２ｔ，－1/2－２ｔ）｜ＰＱ｜^2＝（7/2－２ｔ）^2＋（√2/2－２√２ｔ）^2＋（－1/2－２ｔ）^2 ＝４ｔ^2＋８ｔ^2＋４ｔ^2－１４ｔ－４ｔ＋２ｔ＋49/4＋2/4＋1/4 ＝１６ｔ^2－１６ｔ＋１３＝１６（ｔ^2－ｔ+1/4）－４＋１３＝１６（ｔ－1/2）^2＋９よって、｜ＰＱ｜の最小値＝√９＝３答えは全く同じでした。

ferien
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2012/07/14 23:52 回答No.2

座標空間に正四面体OABCがあり、O（０，０，０）、A（４，０，０）、B（２，２√２，-２）、C（２，２√２，２）＞ベクトルBCはxy平面に垂直である。｜ＯＡ｜＝｜ＡＢ｜＝４＞（１）線分OCをt：１－tに内分する点をP，線分BAを３：１に内分する点をQとする。＞∠PBQ=θとおくとき、cosθの最大値とそのときのtの値を求めよ。ＯＰ＝ｔＯＣ＝（２ｔ，２√２ｔ，２ｔ）ＯＱ＝(1/4)ＯＡ＋(3/4)ＯＢ＝(1/4)（４，０，０）＋(3/4)（２，２√２，-２）＝（５／２，３√２／２，－３／２）ＢＰ＝ＯＰ－ＯＢ＝（２ｔ－２，２√２ｔ－２√２，２ｔ＋２）ＢＱ＝ＯＱ－ＯＢ＝（５／２－２，３√２／２－２√２，－３／２＋２）＝（１／２，－√２／２，１／２）ＢＰ・ＢＱ＝(1/2)（２ｔ－２）－（√2/2）（２√２ｔ－２√２）＋（1/2）（２ｔ＋２）＝ｔ－１－２ｔ＋２＋ｔ＋１＝２｜ＢＱ｜＝(1/4)｜ＡＢ｜＝(1/4)×４＝１｜ＢＰ｜^2＝４（ｔ－１）^2＋８（ｔ－１）^2＋４（ｔ＋１）^2 ＝１６ｔ^2－１６ｔ＋１６＝１６（ｔ^2－ｔ+1/4）－４＋１６＝１６（ｔ－1/2）^2＋１２よって、ｔ＝１／２のとき、｜ＢＰ｜の最小値√１２＝２√３ cosθ＝（ＢＰ・ＢＱ）／｜ＢＰ｜・｜ＢＱ｜＝２／１・｜ＢＰ｜｜ＢＰ｜が最小値をとればcosθは、最大値をとるから、ｔ＝１／２のとき、｜ＢＰ｜＝２√３で、cosθの最大値＝２／１・２√３＝１／√３＞（２）線分PQの長さをの最小値を求めよ。ＰＱ＝ＯＱ－ＯＰ＝（5/2－２ｔ，3√2/2－２√２ｔ，－3/2－２ｔ）｜ＰＱ｜^2＝（5/2－２ｔ）^2＋（3√2/2－２√２ｔ）^2＋（－3/2－２ｔ）^2 ＝４ｔ^2＋８ｔ^2＋４ｔ^2－１０ｔ－１２ｔ＋６ｔ＋25/4＋18/4＋9/4 ＝１６ｔ^2－１６ｔ＋１３＝１６（ｔ^2－ｔ+1/4）－４＋１３＝１６（ｔ－1/2）^2＋９よって、｜ＰＱ｜の最小値＝√９＝３