ベクトルの問題教えてください。

質問

[Question]Oを原点とする座標空間内に3点A(2,0,a),B(0,2,b),C(2,2,4)がある。4点OABCが同一平面状にあるとき、四角形OABCの面積の最小値を求めよ。

4点OABCが同一平面上にあるとき実数m,nを用いて
OC[vector]=mOA[vector]+nOB[vector]とあらわされる。
よって、m=[ア],n=[イ]となり、bはaを用いて、b=[ウ]a+[エ]とあらわされる。したがって、四角形OABCは[オ]である。ただし、[オ]に当てはまるものを次から選べ。
(1)台形(2)長方形(3)平行四辺形(4)ひし形
また、四角形OABCの面積Sはaを用いてS=√([カ]a^2-[キク]a+[ケコ])とあらわされる。よって、Sはa=[サ],b=[シ]の時最小値[ス]√[セ]をとる。

まず、同一平面上にあるという意味がわかりません。
座標はしっかりx,y,zまであるのに・・・・。

回答No.4

htms42

＃３です。
＃３に書いた「角」は「かど」のつもりでした。頂点の意味です。
「かく」と読むと意味が通りません。

回答No.3

htms42

机の上に３次元の座標があるとしてみてください。
ボール紙に４角形を書きます。
この紙を机の上で斜めに立ててみてください。
３次元の空間の中にある４点が同一平面上にあるという状態が実現できました。

ＯＡＢＣの４つの点の中で
原点Ｏ(０，０，０)とＣ(２，２，４)は動きません。
Ａ(２，０，ａ)、Ｂ(０，２、ｂ)は動きます。

底面が２×２の直方体の４つの鉛直線上に４つの点があるのです。
牛乳パックをそばに置いて考えるといいでしょう。
底面の１辺の長さを２とします。
底面の１つの角をＯとします。Ｏの対角線の位置にある角の上、高さが４のところにＣを取ります。ＡとＢは残りの２つの角に立つ鉛直線上にあります。
ＯとＣを通る平面で牛乳パックを切るとＡとＢが決まります。Ｏ、Ｃを通る平面が傾けばＡ，Ｂの位置が変わってきます。
面積が最小になるのはＡとＢの高さが等しくなるようにカットしたときです。高さはＣの半分です。
最大になるのはＡまたはＢの高さが０になる（この時、ＢまたはＡの高さは４になる）カットの仕方だろうという予想もできます。

これをベクトルを用いて解いているのです。
でも空間的なイメージがないとしんどいでしょうね。
幾何的に考える方が計算も楽であるように思います。

回答No.2

aquatarku5

空間内の平面は,異なる３点（但し同一直線上に並ばない）をもって決定される
ことはピンときますか？（空間内の直線は異なる２点で決定され,それらと異なる
１点と当該直線でもって平面が決定されます）
なので、異なる４点がすべて同一平面上にあるには、４点目の点が最初の
３点から決定される平面上にあるということです。
本問の場合,O,A,Bの３点で平面が決定されるので,当該平面上にCも存在する
にはどういう条件を満たすかを考えていくことになります。

・(2,2,4)=m*(2,0,a)+n*(0,2,b)=(2m,2n,am+bn)から、
　m,n,aとbの関係がわかりますね。
・OC[vector]=mOA[vector]+nOB[vector]の関係から,四角形OABCは
　わかりますね。
・OA[vector]とOB[vector]の内積から、cos∠AOBがわかり、これを
　用いて,△OABの面積=|OA||OB|sin∠AOB/2がわかります。
　あるいはOA[vector]とOB[vector]の外積を求めてもよいでしょう。
　前問の四角形OABCの形状を踏まえれば,△OABの面積からSが求まります。
・Sがaの二次式の平方根で表されることから、二次式の最小値は平方完成
　することで求められますよね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞まず、同一平面上にあるという意味がわかりません。
一度 xyz座標のことは忘れた方がよいかもしれません。

OC→＝ m* OA→＋ n* OB→という式は、
「点Cは、OA→と OB→で作られる平面上にある」ということを表しています。

平面上の三角形だと普通にわかることなのですが、
空間図形の中に置かれるとわかりにくくなるかもしれませんね。

お礼

回答ありがとうございます。
そういうことでしたか。納得。

しかし、計算の方法等完全にわすれてしまいました。
先生に詳しく聞きます。