ベクトルの質問です

質問

平面の方程式　ax+by+cz+d=0　のabcはその平面の法線ベクの成分。xyzはその平面上のベクトルの成分ですか？
平面を求める問題などでは、平面上のベクトルはあまり出てきませんが・・・

回答No.1

sanori

(a,b,c) は法線のベクトルですね。

では、平面上の点を表すベクトルについて考えましょう。

まず、どこでもよいですが、平面上のどこかの１点Ａを決めてやります。
すると、平面上の点を表すベクトルは、
ＯＡ→　＋　ｐＡＢ→　＋　ｑＡＣ→
と表すことができます。
（点Ｂ、点Ｃも平面上の点）

以下、実際に解いてみます。

点Ａの座標を (0, 0, -d/c)
点Ｂの座標を (0, -d/b, 0)
点Ｃの座標を (-d/a, 0, 0)
と置けば、

ＡＢ→　＝　(0, -d/b, d/c)
ＡＣ→　＝　(-d/a, 0, d/c)

よって、平面上の点を表すベクトルは、
ＯＡ→　＋　ｐＡＢ→　＋　ｑＡＣ→
　＝　(0,0,-d/c) + (0,-pd/b,pd/c) + (-qd/a,0,qd/c)
　＝　(-qd/a, -pd/b, d(p+q-1)/c)
　＝　(x,y,z)
と表すことができます。

x = -qd/a
y = -pd/b
z = d(p+q-1)/c
この３式から、連立方程式みたいにｐとｑを消去すれば、
元通りの　ax+by+cz+d=0　になるはすです。