空間ベクトルの問題

質問

「3点A(0,1,2),B(1,2,1),C(4,-1,2)を通る平面をαとする。
原点Oから平面αに垂線OHを引くとき、点Hの座標を求めよ。」
という問題なのですが、答えは(4/7,8/7,12/7)であり、ベクトルOH⊥ベクトルAB,ベクトルOH⊥ベクトルACで、内積を使って求めるのは分かるのですが、解答までの過程がよく分かりません。回答お願いします。

回答No.5

fukuda-h · ベストアンサー

全体的な流れは
点Hが平面α上にあることを使って
ベクトルAH＝S(ベクトルAB）+t(ベクトルAC）と表されることを利用してベクトルOH=ベクトルOA+S(ベクトルAB）+t(ベクトルAC）と表してあとは、ベクトルOH⊥ベクトルAB,ベクトルOH⊥ベクトルACから内積を利用して連立方程式を解くことですね。
つまり
ベクトルOH=ベクトルOA+S(ベクトルAB）+t(ベクトルAC）ｓ、ｔは実数から
ベクトルOH＝(s+4t,1+s-2t,2-s)・・・(1)と表される
ベクトルOH⊥ベクトルAB,ベクトルOH⊥ベクトルACから内積＝０であるから
3s+2t-1=0,s+10t=1
これを解いてs=2/7,t=1/14を(1)へ代入してベクトルOHの成分を求めてＨの座標を決める
となりますね

お礼

詳しい回答ありがとうございました！！
おかげで理解できましたっ
ありがとうございます＾＾

回答No.4

tenti1990

もしかして文系で平面の方程式を知らないということでしょうか？
もしそうだったら＃１さんの答えで良いのですが、
たとえ文系でもちょっとがんばってベクトルの外積と平面の方程式を習得すると
このような問題は何も考えることなく＃２さんの回答のようにＸＹ平面で点と直線の距離を求めるのと
同じように解くことができます。

私は文系ですが理系の数学も高校で習ったので使えるところは使っていました。
空間ベクトルと行列はと合成関数の微分くらいは知っておくと良いですよ

もし理系の方だったら全然関係ないことを書いてすいません…
一応内積を使って求めると書いてあるので勝手に文系だと判断しました。

回答No.3

naniwacchi

平面αは、三角形ABCを含む平面です。
この平面上の点は、ベクトルABとベクトルACの一次結合として表すことができます。
これを用いて点Hを表せばよいです。

回答No.2

info22

分かる範囲の解答（最後まで分からなければ分かる所までで結構）ややった解答の計算課程を具体的に補足に書いて下さい。
そしてどこが分からない、どこで行き詰っているかをお書きください。

αの式は書けますか？
媒介変数形式とax+by+cz+d=0の形式の方程式で。

次のステップ
αの法線ベクトルは求められますか？

次のステップ
原点を通るαに垂直な直線の媒介変数形式を書けますか？　…(A)
出来るなら、直線の座標をαのax+by+cz+d=0の形式の方程式に代入して
媒介変数を求めてください。

次のステップ
媒介変数を(A)の直線の式に代入すれば、その時の(x,y,z)が
垂線の足Hの座標になります。

分かるところまでやって、全部わかるなら、補足不要。
途中で行き詰ったら、そこまでの解答の途中計算を補足に書いて、その先のどこの何が分からないかを補足質問してください。

この問題は典型的な問題なのでどこかに載っている気がします。

回答No.1

rnakamra

>ベクトルOH⊥ベクトルAB,ベクトルOH⊥ベクトルACで、内積を使って求める

これだけでは条件が足りません。H(x,y,z)とおくと三つの式が必要になります。
もうひとつの条件としてOH⊥AHとすればよいでしょう。
後は
OH↑・AB↑=0,OH↑・AC↑=0,OH↑・AH↑=0
この三つの式からx,y,zの連立方程式を作ればよいと思います。