ベクトルと空間図形

質問

ベクトルと空間図形

xyz空間における原点Oと3点A(2,2,4),B(-1,1,2),C(4,1,1)について
(1)4点O,A,B,Cから等距離にある点Mの座標を求めよ。
(2)直線OMと3点A,B,Cを通る平面との交点の座標を求めよ。

という問題があるのですが解き方が全然わかりません。(1)は何とかMが(3/2,3/2,3/2)という答えが出ました。(2)は全く手が動きません…
途中式や考え方など教えていただけないでしょうか⁇
ワークのヒントの所には「APベクトル=sABベクトル+tACベクトルとなる実数s,tが存在する」と書いてありました。でもこれをどのようにしてAPベクトルを表すのかもイマイチよくわかりません。
教えてください。お願いします。
因みに(2)の答えは(4/7,4/7,4/7)だそうです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
M(a,b,c)から等距離r(>0)にある4点O,A,B,Cは
中心M,半径rの球面α上にある。球面αの方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 ...(A)
(A)上に4点O,A,B,Cがあるから以下の４つの方程式が成り立つ。
　a^2+b^2+c^2=r^2
　(2-a)^2+(2-b)^2+(4-c)^2=r^2
　(-1-a)^2+(1-b)^2+(2-c)^2=r^2
　(4-a)^2,(1-b)^2+(1-c)^2=r^2
このa,b,c,r(>0)についての連立方程式を解けば
　a=3/2,b=3/2,c=3/2,r=(3/2)√3 ...(B)
すなわち、Mの座標(3/2,3/2,3/2)と4点からMまでの等距離(球の半径)r=(3/2)√3が得られます。

(2)
平面ABCの方程式（媒介変数s,tを使った表現)は
(x,y,z)=OA↑+sAB↑+tAC↑
=OA↑+s(OB↑-OA↑)+t(OC↑-OA↑)
=(2,2,4)+s((-1,1,2)-(2,2,4))+t((4,1,1)-(2,2,4))
=(2-3s+2t,2-s-t,4-2s-3t) ...(C)
成分毎に書けば
　x=2-3s+2t,y=2-s-t,z=4-2s-3t ...(D)
直線OMの方程式（媒介変数uを使った表現)は(B)より
(x,y,z)=uOM↑=(ua,ub,uc)=(3u/2,3u/2,3u/2) ...(E)
成分毎に書けば
　x=3u/2,y=3u/2,z=3u/2 ...(F)

連立方程式(D),(F)を解けば
　x=4/7,y=4/7,z=4/7,s=6/7,t=4/7,u=8/21
と求まるから
直線OMと平面ABCとの交点の座標(x,y,z)
は(4/7,4/7,4/7)となる。

お礼

とても詳しくありがとうございました！
とても助かりました！