空間ベクトル

質問

空間内に4点A(3,6,0),B(1,4,0),C(0,5,4),D(3,4,5)をとり、点Dから平面ABCに垂線DHを下ろす。点Hは平面ABC上にあるから(→AH)＝s(→AB)+t(→AC)(s,tは実数)とおける。このとき、s,tの値と、Hの座標を求めよ。

(→DH)⊥(→AB)と(→DH)⊥(→AC)からsとtの方程式を作って、連立で解くことはわかったのですが、その先が進まなくて困っています。
ベクトルの成分を求める計算から(→AB)と(→AC)の成分を求めたのですが、(→DH)の成分はどうやって求めればよいのでしょうか？
sとtの方程式の作り方から丁寧に教えていただけると嬉しいです。
ここまでで、どこか間違ってるところがありましたら指摘してください。お願いします。

回答No.3

chomsky123 · ベストアンサー

＞＞(↑AH)＝s(↑AB)+t(↑AC)
＞＞(↑DH)・(↑AB)＝０、(↑DH)・(↑AC)。
＞＞(↑AB)と(↑AC)の成分を求めた。

ここまで理解しているのに？
知っているとは思うけれども、
３次元のvectorは、縦書きした方が良いです。
今は、横書きするけれども。

(↑AB)＝(1,4,0)－(3,6,0)
(↑AC)＝(0,5,4)－(3,6,0)

内積。
(↑DH)・(↑AB)＝０　と　(↑DH)・(↑AC)＝０

書き換え。
(↑DH)＝(↑DA)＋(↑AH)

内積の書き換え。
{　(↑DA)＋(↑AH)　}・(↑AB)＝０
{　(↑DA)＋(↑AH)　}・(↑AC)＝０

成分。
(↑DA)＝(3,6,0)－(3,4,5)

(↑AH)＝s(↑AB)+t(↑AC)を使用して、
再び内積の書き換え。
{　(↑DA)＋s(↑AB)+t(↑AC)　}・(↑AB)＝０
{　(↑DA)＋s(↑AB)+t(↑AC)　}・(↑AC)＝０

基本的には完了。
あとは成分表示したいけれども、
そろそろ画面から、はみ出しそう。書体を変えます。

{{(3,6,0)-(3,4,5)}+s{(1,4,0)-(3,6,0)}+t{(0,5,4)-(3,6,0)}}・{(1,4,0)-(3,6,0)}=0
{{(3,6,0)-(3,4,5)}+s{(1,4,0)-(3,6,0)}+t{(0,5,4)-(3,6,0)}}・{(0,5,4)-(3,6,0)}=0

仕上げは、内積の計算を施すと、s,tの連立になります。
試しに上の式のみ縦書きして見ます。括弧は省略して数字だけです。
やはりズレマス。

３－３　　　　　１　　　３　　　　０　　３　　　　１　　３
６－４　＋Ｓ　４　－　６＋Ｔ　５－　６　●　４－　６　＝０
０－５　　　　　０　　　０　　　　４　　０　　　　０　　０

＞＞Hの座標。を忘れていました。

↑ＯＨを求めるためには、
↑ＯＨ＝↑ＯＡ＋↑ＡＨ
↑ＯＨ＝↑ＯＡ＋s(↑AB)+t(↑AC)　と書き直せば、

↑ＯＡ、s、(↑AB)、t、(↑AC)　が全て既出なので、
計算を施せば出てきます。

回答No.2

weakestman

普通に式を作ればいい。

ベＤＨ＝べＤＡ＋ベＡＨ＝（0,2,-5）＋s(-2,-2,0)＋t（-3,-1,-4）
あとは、＞(→DH)⊥(→AB)と(→DH)⊥(→AC)を式にする。
式はわかるよね。内積が０というもの。
未知数はsとtの二個で、式が２つ出来るから、stは求められる。

回答No.1

noname#56760

点Dの位置ベクトルををべ０と定める。
平面ABCのあらゆる点Ｐは
べＰ＝べＤＡ＋ｓべＡＢ＋ｔべＡＣであらわされる。
あとは平面ＡＢＣに垂直なベクトルｖを一つ決めて、
ＤＨ×ｖ＝０となるときの　ｓ、ｔを決めれば出ます。
×は外積