ベクトルの問題

質問

空間内に原点Oと３点A(5,1,-1),B(3,2,2),C(3,-1,-1)が与えられている。

(1)Aから直線BCに下した垂線の足の座標を求めよ。

(2)点Pが三角形ABCの周および内部を動くとき、|ベクトルOP|の最小値を求めよ。

※(1)の答え⇒(3,0,0) (2)の答え⇒3

(1)の誘導から(2)をどう解いたらよいかわかりません。
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

178-tall

>>(2)点Pが三角形ABCの周および内部を動くとき、|ベクトルOP|の最小値を求めよ。
>三角形ABC の周および内部の点 P の式表示を求めれば、(1) の手法で解決できるでしょう。

煩雑てはありそう。

「三角形ABC の周および内部の点 P」だけでも。
　P = A + s{ (B-A) + t(C-B+A) }　　ただし 0≦s, t≦1
らしい。

回答No.4

178-tall

>空間内に原点Oと３点A(5,1,-1),B(3,2,2),C(3,-1,-1)が与えられている。
　以下、目への負荷軽減のためベクトルを省略記載。
　原点 O から A への OA を、単に A と記す。
　原点 A から B への AB はそのまま。AB = OB-OA だが、その始点は原点 O であることに注意。

>(1)Aから直線BCに下した垂線の足の座標を求めよ。

まず、直線BC 上の点 Q の式表示は？
　Q = C+k*(B-C) = (3,-1,-1) + k*(0,3,3)　　…(1)

A と Q との距離は？
　Q-A の内積の平方根。
　Q-A = (-2,-2,0) + k*(0,3,3)
　<Q-A・Q-A> = 8-12k+18k^2 = 2*(4-6k+9k^2)
　= 2*{ (3k-1)^2 +3}　　　…(2)

A から最短距離の Q は？
　(2) によれば、k=1/3 の点。
　(1) へ代入すると、
　Q = (3,-1,-1) + (1/3)*(0,3,3) = (3,0,0)

>(2)点Pが三角形ABCの周および内部を動くとき、|ベクトルOP|の最小値を求めよ。

三角形ABC の周および内部の点 P の式表示を求めれば、(1) の手法で解決できるでしょう。

回答No.3

info22_

(1)の垂線の足Hの座標は|ベクトルOP|の最小値を与える点Pの座標でもあって、
それとなく(2)の|ベクトルOP|の最小値を与える点Pの位置をほのめかしていますね。

>(1)の誘導から(2)をどう解いたらよいかわかりません。

実はこの問題には「３垂線の定理」（参考URL参照）の考え方が要求されます。
添付図の原点O,点A,B,Cの位置と△ABCが含まれる平面ABCに原点から下ろした垂線OD
とDから直線BCに下ろした垂線の足が「(1)の点Aから直線BCに下ろした垂線の足」Hと
一致していることを確認しながらご覧ください。

平面ABCに原点Oから下ろした垂線ODと点Dと直線BCに下ろした垂線DHの足Hは原点Oから
直線BCに下ろした垂線の足と一致する（３垂線の定理）ことから△ODHが直角三角形であり
同時に、辺OHが原点Oと直線BCとの最短距離であることがわかります。
また点Dは△ABCと同一平面上にあるので、点Dと動点Pの存在範囲である△ABCの周および内部の領域の最短距離点は図から辺BC上にあることがわかります。点Dと辺BC上の最短点は
点Dから直線BCに下ろした垂線の足H（これは辺BC上に存在します）ですからDPの最小値は
DHとなります。このHの位置に対して３垂線の定理から直角△ODHの辺OHが原点Oと動点Pの
距離である「|ベクトルOP|」が最小となる位置になります。
したがって、
|ベクトルOP|の最小値＝|ベクトルOH|
となるから
点Hの座標がわかれば、最小値が計算できますね。
点Hの座標(3,0,0)の求め方はわかりますか？
幸いなことに点Hはx軸上の点なので
|ベクトルOH|=OH=3　はすぐわかりますね。

点Dの求め方は
ベクトルOD=(x,y,z)とおいて
平面ABC=ベクトルOA+sベクトルAB+tベクトルAC=(5-2s-2t,1-2s+t,-1+3t)
上に点Dがあることから
　(5-2s-2t,1-2s+t,-1+3t)=(x,y,z) ...(A)
ベクトルAB⊥ベクトルOD、ベクトルBC⊥ベクトルODから
ベクトルの内積=0の関係より
　2x-y-3z=0,3y+3z=0 ...(B)
(A),(B)より
　D(1,-1,1),s=4/3,t=2/3
と求まります。
点Dから辺BCに下ろした垂線の足の座標(実は(1)で求めた点Hの座標と一致)は
ベクトルDH⊥ベクトルBCの条件から
ベクトルDHとベクトルBCの内積=0が成り立つこと
とHが直線BC上にあること
を使えばH(3,0,0)がすぐ求まります。
したがって　OH=3が求める|ベクトルOPの最小値となります。

お分かり？|

参考URL：

http://ameblo.jp/jukensuugaku/entry-11004024103.html

回答No.2

kazaguruma87

(1)…点Aと線分BCとの距離の導出
(2)…点Oと線分BCとの距離の導出

という誘導ではないでしょうか．
(1)|ベクトルOP|が最小
　↓
(2)線分BC上の点Pと点Oの距離が最小
　↓
(3)|OP|⊥|BC|
　↓
(4)線分BCと点Oの距離を求める

という気がします．
平面ですが，(2)→(3)→(4)を説明しているページがありますのでURLを載せておきます．

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimum.htm

回答No.1

Tacosan

O からそこ (が△ABC の周または内部にあれば) までの距離