三角形の面積の公式の証明問題です。

質問

1辺とその両端角、いわゆる（2角夾辺）が分かっているときの、
三角形の面積の求め方の公式は、

1辺の長さを a 、その両端角の角度を B, C とするとき、面積 S は

S = ( a^2 * sinB sinC )/ 2 sin ( B+C )

で求められるとありますが、この公式の証明が思いつきません。

どなたか教えていただけると幸いです。
よろしくお願い致します。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

点Aから辺BCまでの高さをhとすれば、
h*cotB+h*cotC=a
が成り立っています。

h=a/(cotB+cotC)
=a/(cosB/sinB+cosC/sinC)
=a*sinBsinC/(cosBsinC+sinBcosC)
=a*sinBsinC/sin(B+C)

S=ah/2
=a^2*sinBsinC/(2sin(B+C))

お礼

簡潔な証明ありがとうございました。
普通の三角形の面積を表す式やヘロンの公式のようには、このケースの三角形の求め方は、
なかなか教科書や参考書に出ていないので
困っていました。かゆいところに手が届きました。
どうもありがとうございました。