積分を用いた円の面積公式の証明について

質問

中心角θ、二辺の長さがrである二等辺三角形を用いて、半径rの円の面積S(厳密には内接する正多角形の面積の極限？)を求めようとしています。
dS=r^2/2×sin(dθ) である微小三角形を定義し、それを区間[0,2π]で積分することで、S=r^2/2×∫sin(dθ) を求めたいのですが、この積分が解けません。
この積分を解いていただけないでしょうか？
また、このような微小三角形を並べることによる円の面積公式の証明は妥当なものでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

dθが微小であれば

sin(dθ)=dθ

です．なぜなら，

（☆）lim_{x→0}sin(x)/x=1

だからです．こうすれば簡単に積分できます．

S=r^2/2×∫_0^{2π}dθ=r^2/2×[θ]_0^{2π}

=r^2/2×2π=πr^2

また，三角形の中心角をdθ=2π/nと一周のn等分とすれば，

dS=r^2/2×sin(2π/n)

であるのでこれをn個足すと正n角形の面積

S_n=(1/2)nr^2sin(2π/n)=πr^2sin(2π/n)/(2π/n)

がでてきます．これの極限は☆を使えば

lim_{n→∞}S_n=πr^2lim_{n→∞}sin(2π/n)/(2π/n)=πr^2

となります．

円を多角形で近似することは妥当ですよ．

お礼

導出の過程や正多角形への応用まで丁寧に解説いただきありがとうございました。極限を用いた定義から見直せばよいのですね。もう一度勉強しなおしてみようと思います。

回答No.3

hantk

No.2です。

三角形は不適当と言ってしまいましたが、No.1の方がおっしゃるようにdθを微小角としてsinθ≒θとすれば適当です。

お恥ずかしい。。

お礼

勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.2

hantk

sinθを[0,2π]で動かすという事は、三角形を表す式として不適当です。（0＜θ＜πより）
三角形で表したいのであれば　

θ＝２π/n⇔n＝２π/θ　

として

dS＝((r^2)/2)sin（２π/n）

∴S＝ｎ((r^2)/2)sin（２π/n）

　　 ＝（πｒ＾２）×（sinθ/θ）→πｒ＾２　（∵　n→∞⇒θ→0）

と言う極限を取る事になります。ちなみに（sinθ/θ）→1　（θ→0）　です。

積分であるならば、変数をｒとして、同心円の円周を考えます。

∫２πｒｄｒ=πｒ＾２　です。

お礼

なるほど、同心円の円周を重ねていく方法もあるのですね。シンプルでわかりやすいですね。迅速な回答どうもありがとうございました。