三点の座標から求める三角形の面積

質問

座標平面上の３点Ａ（４，５）Ｂ（２，１）Ｃ（６，２）を頂点とする三角形ＡＢＣにおいて
頂点Ａから辺ＢＣにおろした垂線をＡＨとするとき、三角形ＡＢＨの面積を求めよ

自分が思っているやり方としては、
(1)ＡＢ、ＢＣ，ＣＡの距離を求める
(2)余弦定理を使いcosΘ、相互関係の式からsinΘを出す。
(3)Ｓ＝１/２・二辺・その間のなす角で面積を出す。
(4)Ｓ＝底辺×高さ×１/２の公式に(3)でだした面積を代入し高さであるＡＨの値を求める。

ここからどういう風に求めていけばいいのかわかりません。
まず、上の自分の考え方があってるかどうか教えて下さい。それから解説解答をお願いいたします。

回答No.7

staratras

No.6です。回答を投稿してから気づきましたが、下のグラフのように点Dは(5,1)に取った方が簡単ですね。

(2)(3)(4)式は以下のように変わりますが、もちろんxの解は変わりません。

y+z=5/2　…(2)
z+w=3/2　…(3)
w+x=6　　…(4)

回答No.6

staratras

出題者の意図にはそぐわないと思いますが、この問題は三角関数どころか三平方の定理も使わずに解けます。

下のグラフで、三角形ABCの頂点Aから下ろした垂線AHを延長すると、AHはＡを通り傾きが-4の直線なので点D(6,-3)を通ります。

ここで、三角形ABH,ACH,DCH,DBHの面積をそれぞれx,y,z,wとします。Hの位置がわからないのでx,y,z,wはすぐには分かりませんが、隣り合う面積の和は容易に求められて、以下の4式が成り立ちます。

x+y=7 　…(1)
y+z=5　 …(2)　
z+w=10　…(3)　
w+x=12　…(4)

また三角形同士の底辺と高さを共有している関係から、x:w=y:z すなわちxz=yw　…(5)が成り立ちます。

(1)と(3)から　y=7-x z=10-w これを(5)に代入すると　x(10-w)=(7-x)w 整理すると　w=(10/7)x
これを(4)に代入すると　x+(10/7)x=12 (17/7)x=12　　　したがってx=84/17

回答No.5

178-tall

>自分が思っているやり方としては、
>(1)ＡＢ、ＢＣ，ＣＡの距離を求める
>(2)余弦定理を使いcosΘ、相互関係の式からsinΘを出す。
>(3)Ｓ＝１/２・二辺・その間のなす角で面積を出す。
>(4)Ｓ＝底辺×高さ×１/２の公式に(3)でだした面積を代入し高さであるＡＨの値を求める。
>
>ここからどういう風に求めていけばいいのかわかりません。

A の対辺を a などとして、「頂点Ａから辺ＢＣにおろした垂線をＡＨとする」。
「余弦定理」の勘定…この筋書きで OK 。

AH = h 、BH = d として、ピタゴラスにより、
　b^2 = (a-d)^2+ h^2
　c^2 = h^2 + d^2
が成立。

下式の h^2 を上式へ代入して d を得る。
　d = (a^2+c^2-b^2)/2a
下式へ戻れば、h を勘定できますネ。
　h = √(c^2 - d^2)

これは、ANo.3 さんのシナリオと同じです。
「cosΘ」は「辺比」に変装して潜入していそうな気配…。

回答No.4

noname#215361

ANo.3の別解です。

(1)
点Bと点Cを通る直線の方程式は、
y＝（2-1）/（6-2）（x-2）+1=（x-2）/4+1=x/4+1/2
よって、点Hは（a，a/4+1/2）と表わせる
この直線の傾きは1/4なので、点Aと点Hを通る直線の傾きは-4
これから、（a/4+1/2-5）/（a-4）=-4→a=82/17、a/4+1/2=29/17、点Hは（82/17，29/17）
以上から、線分AHと線分BHの長さが求められるので、直角三角形ABHの面積も求められる

(2)
(1)からベクトルAHの成分は（a-4，a/4+1/2-5）=（a-4，a/4-9/2）
また、ベクトルBCの成分は（6-2，2-1）=（4，1）
これらが直交するので内積は0
よって、4（a-4）+a/4-9/2=0→a=82/17、a/4+1/2=29/17、点Hは（82/17，29/17）
以下、(1)と同様

回答No.3

noname#215361

(1)でAB、BC、CAの距離を求めているので、
直角三角形ABHにおいて、三平方の定理から、
AH^2=AB^2-BH^2－(ア)
直角三角形ACHにおいて、三平方の定理から、
AH^2=AC^2-CH^2=AC^2-（BC-BH）^2－(イ)
(ア)と(イ)からBHとAHが求められ、直角三角形ABHの面積も求められる

回答No.2

info222_

∠B=θ, △ABCの面積=Sとおくと
△ＡＢＨの面積S1
=(1/2)BH・AH ...(※1)
＝(1/2)ABcosθ・AH ...(※2)
=(1/2)ABcosθ・ABsinθ=(1/2)(AB^2)sinθcosθ ...(※3)
＝(BH/BC)S ...(※4)
=ABcosθ・S/BC ...(※5)
なので,どれかの１つの式を使って面積S1を計算すれば良いでしょう。

>自分が思っているやり方としては、
>(1)ＡＢ、ＢＣ，ＣＡの距離を求める
AB=√{(4-2)^2+(5-1)^2}=2√5
BC=√{(6-2)^2+(2-1)^2}=√17
CA=√{(4-6)^2+(5-2)^2}=√13

>(2)余弦定理を使いcosθ、相互関係の式からsinθを出す。
cosθ=(AB^2+BC^2-CA^2)/(2AB・BC)
=(20+17-13)/{2(2√5)(√17)}=6/(√85)
sinθ=√{1-(cosθ)^2}=√{1-(36/85)}=7/(√85)

ここまで分かれば (※3)より
△ＡＢＨの面積S1=(1/2)(2√5)^2・(7/√85)(6/√85)=84/17
と面積が求まります。

なので、質問者さんの手順で計算するなら、(3)と(4)の計算手順はしないで済みます。

>(3)Ｓ＝(１/２)・二辺・その間のなす角で面積を出す。
>(4)Ｓ＝底辺×高さ×(１/２)の公式に(3)でだした面積を代入し高さであるＡＨの値を求める。

補足

※の式の意味というか、どういう考え方なのかを教えていただけますか？公式なのでしょうか？※１についてはわかりました。そのしたの３，４，５、がすみませんが理解できないのでもう少し詳しく教えて下さいおねがいします。また１を使うとどのような解き方になるのでしょうか

回答No.1

noname#232123

直線BCの式は、
x-4y+2=0
ですから、AHの長さは、
AH=|4 - 4*5+2|/√{1^2+(-4)^2}=14/√17.
BC=√{4^2+1^2}=√17.
よって面積Sは、
S=(1/2)*√17*{14/√17}=7.
となります。