sinB-sinC=2cos(B+C)/2 × sin(B-C)/2

質問

sinB-sinC=2cos(B+C)/2 × sin(B-C)/2 になるのですが、左辺から右辺を導けません。 二倍角の公式にて 左辺＝2(sinB/2cosB/2-sinC/2cosC/2) までは行き着くのですが、どうしても右辺になりません。 どなたか知恵を貸してください。お願いします。

回答No.3

aurumnet · ベストアンサー

別の方法
[証明]
(左辺)=sin(B+C/2-C/2)-sin(C+B/2-B/2)
=sin{(B+C)/2+(B-C)/2}-sin{(B+C)/2-(B-C)/2}
={sin(B+C)/2×cos(B-C)/2+cos(B+C)/2×sin(B-C)/2}
　　　　　-{sin(B+C)/2×cos(B-C)/2-cos(B+C)/2×sin(B-C)/2}
=2cos(B+C)/2×sin(B-C)/2

よって左辺=右辺

お礼

シンプルな回答でよく理解できました。皆様ありがとうございました。

回答No.4

mogumogukun

左辺＝2(sinB/2cosB/2-sinC/2cosC/2)

＝2｛sinB/2cosB/2（sin?C/2+cos?C/2）-sinC/2cosC/2（sin?B/2+cos?B/2）｝
＝2（sinB/2cosB/2 sin?C/2+ sinB/2cosB/2 cos?C/2- sinC/2cosC/2 sin?B/2-sinC/2cosC/2 cos?B/2）
＝2（cosB/2 cosC/2- sinB/2 sinC/2）（sinB/2 cosC/2- cosB/2 sinC/2）
＝2cos（B/2+C/2）sin（B/2-C/2）

どうしても左辺→右辺の変形をしたいなら・・・無理やりですが・・・

回答No.2

aurumnet

失礼、ミスありました。(2)の後から(3)までの間のところです
[証明]
sinの加法定理より，

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ・・・・・・(1)
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ・・・・・・(2)

である。(1)-(2)より，
sin(α+β)-sin(α－β)=2cosαsinβ・・・・・・(3)

B=α+β,C=α－βとすると
B+C=2α
α=(B+C)/2・・・・・・(4)

B-C=2β
β=(B-C)/2・・・・・・(5)

(4)(5)を(3)に代入すると
sinB+sinC=2cos(B+C)/2 × sin(B-C)/2

よって左辺=右辺となる。

回答No.1

aurumnet

式を変形していってもなかなかならないかとおもいます。

[証明]
sinの加法定理より，

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ・・・・・・(1)
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ・・・・・・(2)

である。(1)＋(2)より，
sin(α+β)+sin(α－β)=2sinαcosβ・・・・・・(3)

B=α+β,C=α－βとすると
B+C=2α
α=(B+C)/2・・・・・・(4)

B-C=2β
β=(B-C)/2・・・・・・(5)

(4)(5)を(3)に代入すると
sinB+sinC=2cos(B+C)/2 × sin(B-C)/2

よって左辺=右辺となる。