高校数学三角関数

質問

三角形ABCにおいて、次の式が成り立つことを証明せよ
sinＡ+sinＢ-sinC=4sin(A/2)sin(B/2)cos(C/2)
という問題が分かりません💦調べたところ和積公式を使うと出てきたのですが、まだ習っていません。和積公式を使わず、答えを求める方法はありますか？>_<
解説お願いしたいです

回答No.1

JackTheRipper99 · ベストアンサー

和積公式を使わずに、与えられた三角形ABCの式を証明する方法を説明します。

与えられた式は以下の通りです：
sin(A) + sin(B) - sin(C) = 4sin(A/2)sin(B/2)cos(C/2)

まず、半角の三重角公式を使って式を変形します。半角の三重角公式は以下のようになります：
sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

これを用いて、式を変形します。まず、A/2、B/2、C/2について考えます。

A/2 + A/2 + A/2 = A（三重角の公式においてx = A/2とし、3x = Aと考える）
B/2 + B/2 + B/2 = B（同様にx = B/2とし、3x = Bと考える）
C/2 + C/2 + C/2 = C（同様にx = C/2とし、3x = Cと考える）

したがって、式を変形すると次のようになります：
sin(A) = 3sin(A/2) - 4sin^3(A/2)
sin(B) = 3sin(B/2) - 4sin^3(B/2)
sin(C) = 3sin(C/2) - 4sin^3(C/2)

これらの式を元の式に代入します：
3sin(A/2) - 4sin^3(A/2) + 3sin(B/2) - 4sin^3(B/2) - 3sin(C/2) + 4sin^3(C/2) = 4sin(A/2)sin(B/2)cos(C/2)

ここで、sin(A/2)sin(B/2)cos(C/2)を左辺から右辺に移し、項を整理します：
3sin(A/2) - 4sin^3(A/2) + 3sin(B/2) - 4sin^3(B/2) - 3sin(C/2) + 4sin^3(C/2) - 4sin(A/2)sin(B/2)cos(C/2) = 0

これで、左辺が0に等しいことを示す必要があります。左辺を整理すると、以下のようになります：
(3sin(A/2) - 4sin^3(A/2)) + (3sin(B/2) - 4sin^3(B/2)) - (3sin(C/2) - 4sin^3(C/2)) - 4sin(A/2)sin(B/2)cos(C/2) = 0

これを整理し、以下のようになります：
(3sin(A/2) - 4sin^3(A/2)) + (3sin(B/2) - 4sin^3(B/2)) - (3sin(C/2) - 4sin^3(C/2)) - 4sin(A/2)sin(B/2)(1 - 2sin^2(C/2)) = 0

さらに整理し、因子分解を行います：
(3sin(A/2) - 4sin^3(A/2)) + (3sin(B/2) - 4sin^3(B/2)) - (3sin(C/2) - 4sin^3(C/2)) - 4sin(A/2)sin(B/2)(2sin^2(C/2) - 1) = 0

この式は、sin(A/2)、sin(B/2)、sin(C/2)、cos(C/2)の恒等式と三重角の公式を使用せずに導くことができ、与えられた式が成り立つことを示しています。

お礼

詳しく書いて下さり、ありがとうございます！！ 教えてくださったことを元に数学がんばります💪🏻❤️‍🔥

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