ヘロンの公式の疑問

質問

前項の解答で使った解法をa,b,cを２辺の長さとする一般の三角形に適用すると、三角形の面積Ｓは
Ｓ＝√a+b+c/2・-a+b+c/2・a-b+c/2・a+b-c/2
というやや複雑な、しかしなんとなく魅力的な結果が得られる。
これが、３辺の長さから三角形の面積を知るためのヘロンの公式と呼ばれる有名な公式である。ヘロンの公式はs=a+b+c/2とおくと
Ｓ＝√s(s-a)(s-b)(s-c)
ときれいに表すことができる。と書かれていたんですが、

１前項の解答で使った解法とはどんな解法のことを言っているんでしょうか？？

回答No.2

debut · ベストアンサー

おそらく、三角形の高さを求めることを、直角三角形２つに分けて
やる方法を、具体的な数字でやったものかも。
文字でやると、これが結果的にヘロンの公式になってしまう。

△ＡＢＣで、ＡからＢＣに垂線ＡＨを引く。
直角三角形ＡＢＨで、AH^2=AB^2-BH^2・・・(1)
直角三角形ＡＣＨで、AH^2=AC^2-CH^2=AC^2-(BC-BH)^2・・・(2)
AB^2-BH^2=AC^2-(BC-BH)^2から展開してBHについて解くと
BH=(BC^2-AC^2+AB^2)/(2BC)
(1)に代入すると、
AH^2=AB^2-(BC^2-AC^2+AB^2)^2/(4BC^2)
　={4AB^2*BC^2-(BC^2-AC^2+AB^2)^2}/(4BC^2)
　={2AB*BC+(BC^2-AC^2+AB^2)}{2AB*BC-(BC^2-AC^2+AB^2)}/(4BC^2)
={(AB+BC)^2-AC^2}{-(AB-BC)^2+AC^2}/(4BC^2)
=(AB+BC+AC)(AB+BC-AC)(AB-BC+AC)(-AB+BC+AC)/(4BC^2)
よって、
AH=√{(AB+BC+AC)(AB+BC-AC)(AB-BC+AC)(-AB+BC+AC)}/2BC
△ＡＢＣの面積Ｓは
Ｓ＝(1/2)BC*AH
＝√[{(AB+BC+AC)/2}{(AB+BC-AC)/2}{(AB-BC+AC)/2}{(-AB+BC+AC)/2}

回答No.3

debut

＞このページにある解法は1/2AB・AC・sinAぐらい

では、余弦定理と組み合わせてsinＡを消去でしょうか。
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
sinA＞０なので
sinA=√{1-(b^2+c^2-a^2)^2/(4b^2c^2)}
よって、
S=(1/2)bc√{1-(b^2+c^2-a^2)^2/(4b^2c^2)}
=(1/2)√[{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}/4]
因数分解して
=(1/4)√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
=√[{(a+b+c)/2}{(-a+b+c)/2}{(a-b+c)/2}{(a+b-c)/2}

回答No.1

koko_u_u

>１前項の解答で使った解法とはどんな解法のことを言っているんでしょうか？？

何かの参考書からの引用ですか？
超能力者でもない限り、「前項の解答」を知ることは不可能だと思います。

補足

数学本質の研究Ｉ・Ａからの引用です。
このページにある解法は1/2AB・AC・sinAぐらいしかないんですが、どう考えても関連性が考えられないので、このような形で質問させていただきました。
すいませんどなたか回答お願いします