高3受験生 三角関数の質問です

質問

三角形ABCにおいて、sinA+sinB+sinC≧sin2A+sin2B+sin2Cであることを証明する問題が解けません。お教えください。

回答No.1

noname#152422 · ベストアンサー

同じ内容の質問が載っていました。

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1048420990

お礼

お教えいただきありがとうございます。気がつきませんでした。勉強します。

回答No.3

mister_moonlight

＃2には　重大なミスがある。無視していて。

回答No.2

mister_moonlight

simpleな方法が、思い浮かばないんだが。
左辺の最小値と、右辺の最大値を求めてやろう。三角では、そういう2変数の最大値と最小値を求める問題が珍しくない。着想は、そこ。

sinx　は　0＜x＜πでは　凸関数だから、sinA+sinB+sinC≧3sin(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)/3　が成立する。Ａ＋Ｂ＋ＣＡ＋Ｂ＋Ｃ＝π　だから　sinA+sinB+sinC≧3√3/2‥‥(1)
又、sin2A+sin2B+sin2C＝2*sin(Ａ＋Ｂ)*cos(Ａ-Ｂ)ーsin(2Ａ＋2Ｂ)≦2*sin(Ａ＋Ｂ)ーsin(2Ａ＋2Ｂ)。‥‥(2)　何故なら、cos(Ａ-Ｂ)≦1.‥‥(3)
Ａ＋Ｂ＝θとすると、(2)から、Ｆ/2＝sinθ*(1-cosθ)だから、これの最大値を求めると良い。
sinθ＞0、1-cosθ＞0より2乗しても同値だから、cosθ＝αとして　Ｆ＾2/4＝(1ーα)＾2*(1ーα＾2)の最大値を｜α｜≦1で求めると、(微分して、増減表を書くと)α＝-1/2　で最大値＝27/16.
よって、Ｆ≦3√3/2　‥‥(4)
以上により、(1)と(4)から　sinA+sinB+sinC≧sin2A+sin2B+sin2C　等号成立は、Ａ＋Ｂ＝2π/3、Ａ-Ｂ＝0つまり、Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝π/3　のとき。

お礼

ご返事いただきましてありがとうございます。かなり複雑そうですが、よく読み直して考えてみます。