自然対数の底eの条件について

質問

lim {n to infty} （2n/2n+1）^n
を求める際に、eを用いるために
(与式)=lim {n to infty} (2n+1/2n)^-n
というように( )内を逆数にしてから、
e=lim {n to infty} (1+1/t)^tの形に持っていくのだと教わりました。

というのも、もし逆数にせずに( )内を計算すると、
2n/2n+1=1+(-1/2n+1)となり

e=lim {n to infty} (1+1/t)^tとした時の1/tの部分が負になってしまうからだそうです。

どうして1/tが負となってはいけないのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「e=lim {n to infty} (1+1/t)^tの形に持っていく」とか
「1/tの部分が負になってしまう」とかの表現が不正確だから、
何を言っているのか解らないのです。
教わった解法を、例え話ではなく、具体的な式変形で
補足に書いてごらんなさい。　　←(＊)

lim{n to infinity} (2n/(2n+1))^n の変数を置き換えて、
式の一部に lim{t to infinity} (1+1/t)^t を含む式に変形し、
lim{t to infinity} (1+1/t)^t = e という知識を使って
式の値を求めているのでしょう？

lim{t to infinity} (1-1/t)^t を含む式や
lim{t to －infinity} (1+1/t)^t を含む式に変形しても、
直接には lim{t to infinity} (1+1/t)^t = e が利用できないので、
「逆数にして」利用できる形に変形するのです。

lim{t to infinity} (1-1/t)^t
= lim{t to infinity} ((t-1)/t)^t
= lim{s to infinity} (s/(s+1))^(s-1)　　　　　　; s = t-1
= lim{s to infinity} ((s+1)/s)^(1-s)　　　　　　; 逆数にした
= lim{s to infinity} (s+1)/s / (1+1/s)^(1-s)
= lim{s to infinity} (s+1)/s / lim{s to infinity} (1+1/s)^(1-s)
だということです。

逃げずに、(＊)をゼヒ。

お礼

lim {n to infty} （2n/2n+1）^n
=lim {n to infty} (2n+1/2n)^-n
=lim {n to infty} (1+(1/2n))^-n
=lim {n to infty} {(1+(1/2n))^2n}^-1/2
=e^-1/2

つまり
lim{t to infty} (1-1/t)^tだと
(-1/t)→-inftyとなってしまうので
eが利用できないということですよね。
ありがとうございました！

回答No.2

alice_44

ごめん、編集ミス。

= lim{s to infinity} ((s+1)/s)^(1-s)　　　　　　; 逆数にした
= lim{s to infinity} (s+1)/s / (1+1/s)^s
= lim{s to infinity} (s+1)/s / lim{s to infinity} (1+1/s)^s
= 1/ e