自然対数の底 「e」ってなんのためにあるんですか？？

質問

自然対数の底は「e」で表され、その近似値は2.72とされます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
Wikipediaを見てみたんですが、恥ずかしい事に意味を理解ができませんでした。
大昔ですが、一応理系の大学は卒業しているんですが…

このeはいったい何のためにあるんでしょうか？

eの意味を分かりやすく教えていただけると有難いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

BookerL · ベストアンサー

「何のため」といわれると答えにくいですね。

　円周率π（3.141592…）はご存じですね。でもπが何のためにあるか、といわれて答えられますか。
　πやｅなどの数は、「何かのために」存在しているというものではないと思います。というか、どんな数でも何かのために存在しているわけではないでしょう。（「３」は何のためにあるんでしょう？）

　「ｅの性質」なら、いろいろ説明できそうです。
　私が一番初めに思いつくのは、「f(x) を微分すると f(x) になる」という数学的の特徴のある関数 f(x) が e^x である、ということです。

　もう一つどこかで聞いたことで印象深いのは、複利に関係することです。
　「年利１００％」で増えるお金があったとします。１円が１年後に２円になります。
　これが「半年で５０％」という半年複利にすると、１年後には 1.5×1.5 で 2.25円になります。
　「３ヶ月で２５％」という利率だと、１年後には1.25×1.25×1.25×1.25 で 2.44140625円になります。

　複利を取る期間をどんどん短くすると、１年後のお金も増えていきますが、どこまでも増えるわけではなく、極限になると １年後にｅ円になります。

　要するに ( 1 ＋ 1/n )^n の極限の話ですが。

回答No.8

stomachman

このサイトでも「自然対数 e」で検索すると幾つか出てきますが、それじゃ不満だと仰るのでしょう。ならば何が分からんのか、ポイントを示してくださいな。

回答No.7

mina5

ｎｏ６です。
失礼　Ｎ乗でした。

回答No.6

mina5

とりあえずは
ｅを定義することからはじまるわけですが
下記サイトの定義でいいでしょう。

(1+1/n）の1/n乗の極限

参考URL：

http://www.ies.co.jp/LoveMath/3rd_grade/exp-j/exp-j.html

回答No.5

gyrocompas

高校生時代に数学の先生に聞いたはなしですが、
指数関数を微分するために、数学者が四苦八苦して
作り出したものです。
ということを聞きました。
（eそのものは、オイラー一人の発見では、ないのではないかね）
πやγの親戚だと思えばええがな、
みんな無理数やし。

回答No.4

cato_01

No2 さんの論で　検討つきましたが、
okWave で、こんな難しい質問が出るとは。小生、知識なし。

★　日常生活では、　10log10(電力)、　20log10(電圧) の近似で
十分に賄えていますから。

パソコンのディジタルノイズを、アナログアンプに出来るだけ
反映させないために、ミキサーの　EQ.HI を　何dB 下げると
良い、みたいな、生活です。

回答No.3

arrysthmia

毎回 exp(1) と書かないでもいいためにあるんじゃないですかね。

回答No.1

info22

eという定数が見つけられたことで
e^(ix)=cos(x)+i sin(x) (オイラーの公式)
の関係が発見され、複素関数と位相の関係の位相幾何学が発展し
自動制御の伝達関数の位相特性の考えの基礎となりました。
G(jw)=|G(jw)|e^jθ
∠G(jw)=θ(w)　←位相特性
|G(jw)|　　　　←伝達（振幅）特性
と展開できて位相解析にとり安定性を取り扱えるようになりました。

実数関数が複素関数へ拡張されたことで
(e^x)'=e^x
∫(e^x)dx=e^x
なる微積分関係から微積分学が発達し、複素関数による数学が発展し、
以前はできなかった積分が簡単にできるようになり、また

理工学でのラプラス変換、フーリエ積分などができるようになりました。

正規分布の関数もeがなければ表せず、統計学も発達しなかったでしょう。
∫(1/x)dx=log(e)|x|+C
{log(e)x}'=1/x
と自然対数を使って、1/xの積分が可能となったことも大きな成果です。
{log(e)x}'=1/x

［ｅ］は、数学分野を発展させただけでなく、理工学や統計学、通信理論の発展に大いに貢献していますね。