自然対数の底と極限

質問

自然対数の底　e = lim(n→∞) (1+ (1/n))^n
というのは、周知の事実である（ときには定義）と思います。

現在、極限
lim(n→∞) (1- (1/n))^n

を考えています。

グラフ描画ソフトなどで確認した場合、どうもこれは　1/e　に収束するようなのですが、どのように計算したらよいのかがわかりません。

どなたかご教授お願いします。

※n を -nと置き換えると、
lim(n→-∞) (1+ (1/n))^(-n)となり、一見　1/eに収束するように見えるのですが、 n→-∞となっています。
この疑問は、
lim(n→-∞) (1+ (1/n))^nとlim(n→∞) (1+ (1/n))^nがなぜ一致するのか、という問題と言い換えることができます。

回答No.3

waiwai_21 · ベストアンサー

#2です。

>もしよろしければ、後学のため、ご自身が発想に至った経緯（自力で思いついたのか、以前どこかの問題集で解かれた経験があるのか、常識なのか）ということを補足していただけないでしょうか？

実はそんなに難しいことはしてません。
なんとか(1+1/n)^nと(1-1/n)^nを絡めようと式をごちゃごちゃいじってみたけど、
よくわからなかったので、とりあえずnに具体的な数字をいくつか入れてみただけです。

実際、a_n = (1+1/n)^n、　b_n = (1-1/n)^nとすると

a_1 = 2/1
a_2 = 3/2・3/2
a_3 = 4/3・4/3・4/3
a_4 = 5/4・5/4・5/4・5/4

b_1 = 0/1
b_2 = 1/2・1/2
b_3 = 2/3・2/3・2/3
b_4 = 3/4・3/4・3/4・3/4

これを見て、a_nとb_(n+1)を掛ければ打ち消しあってn/(n+1)
だけが残ってうまくいきそうだというのが見えてきて、回答に至りました。

お礼

わざわざ問題に頭を悩ませてくださったようで、ありがたい限りです。

＞式をごちゃごちゃいじってみたけど、よくわからなかったので、とりあえずnに具体的な数字をいくつか入れて

私は式を弄るところで止まってしまいました。
そこから具体的に数字を入れてみて観察するという姿勢と、
その式を見て
＞a_nとb_(n+1)を掛ければ打ち消しあってn/(n+1)だけが残ってうまくいきそうだ
という発想をなされる点、
この二点においてまだまだ自分には壁があったなぁと感じます。

発想の方はともかくも、「具体的に数字を入れて観察してみる」というのはすぐにでも実践できますので、今後の解答方針として真似させていただきます。

どうもありがとうございました。

回答No.2

waiwai_21

(1-1/n)^n の代わりにnをひとつ進めた
(1-1/(n+1))^(n+1)を考えるとわかりやすいです。

(1-1/(n+1))^(n+1)
=(n/(n+1))^(n+1)
=((n+1)/n)^(-n-1)
=(1+1/n)^(-n-1)
={(1+1/n)^(-n)}{(1+1/n)^(-1)}

あとはnを無限大に飛ばしてやれば
(1+1/n)^(-n)→1/e
(1+1/n)^(-1)→1
となるので、全体で1/eになります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど。
うまく式を変形すれば計算できたのですね。
発想に至りませんでした。

もしよろしければ、後学のため、ご自身が発想に至った経緯（自力で思いついたのか、以前どこかの問題集で解かれた経験があるのか、常識なのか）ということを補足していただけないでしょうか？

回答No.1

Tacosan

log が連続であることを使う?

お礼

ご回答ありがとうございました。
上記の方の解法で解決することができました。

しかし (1+ (1/n))^nの連続性を見るという点で、新しい知見を与えていただいたと思います。

どうもありがとうございました。

補足

いつもありがとうございます。

>log が連続であることを使う?
具体的にはどういうことをためしてみたらいいでしょうか。

今考えたことですと、

例えば m=1/nとすると、
「lim(n→-∞) (1+ (1/n))^nとlim(n→∞) (1+ (1/n))^nが一致する」
という問題は、

「(1+m)^(1/m) は m→±0の極限が一致する（＝連続?）」、ということと同じであると思います。

logをとってみると、

log(1+m) / m　が m→±0 の極限が一致する

ということになります。

これを何とかして証明できればいいのでしょうか?（思いつきませんが）