Ｎ＝（１＋Δｋ）＾ｔ とＮ＝ｅ＾（Δｋ×ｔ）は同じ

質問

見出しの通り，Ｎ＝（１＋Δｋ）＾ｔ　とＮ＝ｅ＾（Δｋ×ｔ）は，ｋが微小量なら同じ式と言えるでしょうか。

ｎ→∞　のとき，ｌｉｍ（１＋１／ｎ）＾ｎ　＝　ｅ　ですから，両者が似たような式になりそうだとは思うのですが，数学的にきちんと整理できません。

　どなたかきちんと整理して教えていただけないでしょうか。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1+Δk)^t=e^{t*ln(1+Δk)}
ここで ln(1+Δk)とマクローリン展開すると
ln(1+Δk)=Δk-(1/2)Δk^2+(1/3)Δk^3+ … +((-1)^n)*(1/n)Δk^n+ … =Δk+R1
(R1は余剰項)

Δk<<1の時、
ln(1+Δk)≒Δk
で近似できるとすると

(1+Δk)^t=e^{t*ln(1+Δk)}≒=e^{tΔk)}

と近時できることになります。

(余剰項分の誤差が十分小さい場合には近似的に等しいということになります。)

回答No.4

alice_44

「同じ」ではないですね。
だいたい同じようなもんではあります。
正確には、No.1 さんが仰るように、
「一次近似できる」と言うほうがよいでしょう。
(1+△k)のt乗 と eのt△k乗 の差は、
△k→0 の極限で、△kの2乗 との比が有限になる
という意味です。

お礼

しばらく待っても補足への回答はありませんでしたので，質問を締め切ります。
御回答いただいたみなさま，本当にありがとうございました。

補足

短い時間に多くの方の回答をいただきましてありがとうございました。
dN/dt = ΔK　×　N　　（N：個数，Δｋ：１を越える分の倍数）とすると

Ｎ＝最初の個数　×　ｅ＾（Δｋ×ｔ）　となります。

（以下，最初の個数は１個にします。）　

　例えば，Δｋ＝１（ｋ＝１＋Δｋよりｋ＝２）の時，１秒後にexp(1) １０秒後はexp(10)です。しかし，１個のものが２倍，２倍に増える現象なら１秒後は２　１０秒後は１０２４です。

　この不一致が気になったことがあるのですが，考えてみればΔｋは限りなく０に近い数字です。（つまりΔｋ＝１は仮定としておかしい。）
　ですから，e＾（Δｋ×ｔ）　と　ｋ＾ｔ＝（１＋Δｋ）＾ｔ　は，近似的に一致すると考えました。数学的な説明は一応，理解できました。

　ところで，式の意味を日本語で説明するなら，両者は何が違っているのでしょうか。どちらも１秒間でΔｋ倍になる現象のｔ秒後を求めているような気がするのですが・・・
（日本語として同じ説明なのに，式が異なるというのはおかしいのですが，日本語的な説明として何が違っているのかが分かりません。）

　御回答よろしくお願いします。

回答No.2

FT56F001

ｎ-> ∞　のとき，lim (1+1/n)^n　=　e　ですから，
k ≒ 0 のとき ，lim (1+k)^(1/k) = e です。
この両辺を(kt)乗すれば， (1+k)^t ≒ e^(kt) になります。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

うーん、何を答えたらよいか判りませんが

e^(Δkt) = (e^Δk)^t だから、階乗の中身を比較すると
(e^Δk) と 1+Δk　はテイラー展開で一次までは合ってますね。