自然対数の底e

質問

自然対数は何処からやってきたのでしょうか？
定義としては
∞
Σ1/n!
n=0

とか
lim（1+n）^{1/n}
n→∞
とかで表されますけど。

回答No.2

www15 · ベストアンサー

対数関数 log(a)x （a は対数の底。）を微分することを考えます。
微分の定義 f'(x) = lim{d -> 0}{[f(x + d) - f(x)] / d} を用いると，

[log(a)(x + d) - log(a)(x)] / d
= log(a)([x + d] / x) / d
= log(a)(1 + d / x) / d
= log(a)[(1 + d / x) ^ (1 / d)]
= log(a)[(1 + (d / x)) ^ ((x / d) / x)]
= log(a)[[(1 + (d / x)) ^ (x / d)] ^ (1 / x)]

のようになりますが，このとき n = d / x とおくと，d -> 0 のとき n -> 0 で

= log(a)[[(1 + n) ^ (1 / n)] ^ (1 / x)]

となります。ここで e = lim{n -> 0}{(1 + n) ^ (1 / n)}（ONEONEさんの記載は誤りです）
と定義して上の式の極限を取ると

lim{d -> 0}{[log(a)(x + d) - log(a)(x)] / d}
= log(a)[e ^ (1 / x)]
= (1 / x)log(a)e

となるわけです。このときもし a = e であれば

[log(e)x]' = 1 / x

と簡単になります。

e はこのように発生しています。

また，Σ(n=0..∞)[1 / n!] の式は，指数関数 e ^ x に対してマクローリン展開の無限級数

f(x) = Σ(n=0..∞)[(x ^ n)・f(n*')(0) / n!]
（ただし，f(k*')(x) は f(x) の k 回微分を表す）を適用すると

e ^ x = Σ(n=0..∞)[(x ^ n)・(e ^ 0) / n!]

（なぜなら，(e ^ x) = (e ^ x)' = (e ^ x)'' = (e ^ x)''' = ......）で，この式に x = 1 を
代入すると

= Σ(n=0..∞)[(1 ^ n)・(e ^ 0) / n!]
= Σ(n=0..∞)[1 / n!]

が得られます。

回答No.6

i536

自然法則によく出てくる微分方程式：dy/dx=y　の解を
簡潔に表現するために自然に導入されたのではないでしょうか。

自然対数の底をeで表記したのはオイラーで1731年からだそうです。

たしか、ギリシャ語で自然？（自信なし）を意味する単語の
頭文字イプシロンεから採ったと思いました。

回答No.5

nikorin

すでに的確なお答えが出ているので、蛇足になりますが。
lim(1+1/n)^n
n→∞
の意味づけに面白い例を大学の講義で聞いた事があるので紹介します。
これは1年の金利100％の預金（こんなのがあったらいいですねぇ…）が
1年後、何倍になっているかということを表しています。

金利が1年後につくとすれば(1+1)^1で２倍ですね。
金利が半年毎につくとすれば(1+0.5)^2=2.25倍、
金利が3ヶ月毎につくとすれば(1+0.25)^4=2.44倍、
金利が1ヶ月毎につくとすれば(1+0.0833..)^12=2.60倍、
...
金利が時々刻々とつくならe倍、というわけです。

回答No.4

kony0

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=717119
に、質問者さんの意図からずれた回答をしたのですが・・・

下記URLはいかがですか？

発想は、
　(a^x)'=(a^x)lim(h→0)(a^h-1)/h
⇒lim(h→0)(a^h-1)/h=1 となるaが知りたい！
というところから来ているものだと思います。（発想として自然）

参考URL：

http://www.daieidream.co.jp/html/science/e.pdf

回答No.3

kaede_93jp

高校の時（３年前）、数学の先生から習ったのは、

Ｙ＝Ａ＾Ｘ（ＡのＸ乗）のグラフを書きます。
すると、必ずＸ＝０のとき、Ｙは１となりますね。

○ここがポイント
そこでＸ＝０においての接線の傾きを１とするときのＡの値を自然対数ｅと表す。と教えてもらいました。

実際微分をすると、ｄＹ／ｄＸ＝Ａ＾ＸｌｏｇｅＡという公式からＸ＝０とするとｌｏｇｅＡ＝１となるので、Ａ＝ｅとなります。

でもこれじゃあＡ＾Ｘの微分に自然対数が底というのが前提なので、答えとは違いますね。

まあ、おまけとして知っていてください。

回答No.1

sanori

そうした定数を決めておけば、指数関数の微分積分学が簡便になるからです。

下記の質問にも私が回答チャレンジしているので、
ぜひ見てください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=715616

この場に、その文章のコピーをしようとも思いましたが、余りにも長文ですので．．．

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=715616

お礼

どうもありがとうございます。