この式の収束について

質問

lim{1-p+pe^(t/n)}^n

p,tは定数。

↑の式において、ｎ→∞にするとｅ^(pt)になるようなのですが、なぜそうなるのかがわかりません。どうかご回答よろしくお願いします。

回答No.2

waseda2003 · ベストアンサー

自然対数の底eの公式を使えば，導けそうです。

x = -p+pe^(t/n) = p*{e^(t/n)-1} とおくと，
　　lim_(n→∞) x = 0　　　…… (1)

　　{1-p+pe^(t/n)}^n = (1+x)^n
　　= (1+x)^{(1/x)*nx}
　　= {(1+x)^(1/x)}^(nx)　……(2)
ここで，
　　nx = np*{e^(t/n)-1} = pt*{e^(t/n)-1}/(t/n)
と変形できますので，公式 lim_(h→0) (e^h-1)/h = 1 を用いると
　　lim_(n→∞) nx = pt　　……(3)
公式 lim_(h→0) (1+h)^(1/h) = e と (1)，(2)，(3) を組み合わせると
　　lim_(n→∞) {1-p+pe^(t/n)}^n = e^(pt)
が得られます。

お礼

あっ、自然対数の底ｅの公式をすっかり忘れていました。丁寧に途中の計算式まで書いていただきありがとうございます。おかげさまで、十分納得できました。どうもご回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

直感ですが, e^(t/n) を展開しちゃダメかなぁ?

補足

f(t/n)=e^(t/n)とおいて、f(t/n)のマクローリン展開をしてみても、うまく答えがでません。誠に申し訳ないのですが、展開して解く解法をお教え願います。