数学がわかりません。。。

質問

lim(1+1/n)＾ｎ=e n→∞
の計算をしたいのですが、考えてもわかりませんでした。
∑の形とlimの形で答えを出したいのですが、教えてください。よろしくおねがいします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

まだ完結していないようなので、
証明も書いてみよう。

A No.3 に倣って、質問を
lim[n→∞] (1+1/n)^n = Σ[n=0～∞] 1/n！
を証明する問題と解釈し、
A No.2 の方針でやってみる。

まず、級数を使って
f(x) = Σ[n=0～∞] (1/n！)x^n　　　←[*1]
という関数を定義する。
ダランベールの収束判定法などによれば、
右辺の冪級数は収束半径 ∞ であり、
任意の x について広義一様に絶対収束する。
( f が指数関数であることには
敢えて気がつかないフリをしておく。)

[*1] により f(x+y) を考えると
f(x+y) = Σ[n=0～∞] (1/n！)(x+y)^n
であるが、各 (x+y)^n を二項定理で展開すれば
f(x+y) = Σ[n=0～∞] (1/n！) Σ[k=0～n] (nＣk)(x^k)y^(n-k)
　　　　= Σ[n=0～∞] Σ[k=0～n] (1/n！)(nＣk)(x^k)y^(n-k)
　　　　= Σ[k=0～n] Σ[k=n～∞] (1/n！)(nＣk)(x^k)y^(n-k)　　　　　　　←[*2]
　　　　= Σ[k=0～n] Σ[k=n～∞] (1/n！){ n！/(k！(n-k)！)}(x^k)y^(n-k)
　　　　= Σ[k=0～n] (1/k！)(x^k) Σ[k=n～∞] { 1/(n-k)！ }y^(n-k)　　　←[*3]
[*2] での Σ の交換は、ΣΣ する範囲の (n,k) を
座標平面に図示してみれば、理解できると思う。
このような部分級数の計算が許されるのは、
もとの Σ が絶対収束しているからである。
[*3] を m = n-k で置換すれば、
f(x+y) = Σ[k=0～n] (1/k！)(x^k) Σ[m=0～∞] (1/m！ )y^m
　　　　= f(x) f(y)　　　←[*4]
となる。

これにより、任意の x について f(x) f(-x) = f(0) = 1 > 0 となる。
x > 0 のときは、[*1] の右辺各項が正であることより f(x) > 0 となるから、
併せると、任意の x について f(x) > 0 と判る。

[*1] は、広義一様収束により項別に微分できて、
(d/dx)f(x) = (d/dx){ 1 + Σ[n=1～∞] (1/n！)x^n }　
　　　　　　= Σ[n=1～∞] (1/n！) (d/dx)x^n　
　　　　　　= Σ[n=1～∞] { 1/(n-1)！)x^(n-1)
　　　　　　= Σ[m=0～∞] (1/m！)x^m
　　　　　　= f(x)
　　　　　　> 0
f(x) は単調増加関数であるから、値域全域で逆関数が定義できる。
y = f(x)　⇔　x = g(y)　と置く。
特に、f(0) = 1 より g(1) = 0 である。

f が微分可能で df/dx ≠ 0 であることにより、g も微分可能である。
言うまでもなく、f, g は連続である。

[*4] を g で表すと、g(x) + g(y) = g(xy) と書ける。
y = x^(m-1) の場合を考えてみれば、g(x^m) = m g(x) であることが解る。

以上を総合すると…
lim[n→∞] (1+1/n)^n = f( g( lim[n→∞] (1+1/n)^n ) )
　　　　　　　　　　　= f( lim[n→∞] g( (1+1/n)^n ) )
　　　　　　　　　　　= f( lim[n→∞] { g(1+1/n) - 0 }/(1/n) )
　　　　　　　　　　　= f( g'(1) )
　　　　　　　　　　　= f( 1/f'(0) )　　　←[*5]
　　　　　　　　　　　= f( 1/f(0) )
　　　　　　　　　　　= f( 1/1 )
　　　　　　　　　　　= Σ[n=0～∞] 1/n！　 　←[*6]
[*5] では、逆関数の微分法を使った。
[*6] は、[*1] に x = 1 を代入したものである。

これが目的の式であった。

e^x を使わず、わざとらしく f(x) を導入したのは、
e の定義にまつわる循環論法を避けるためである。

回答No.4

alice_44

その Σ がどんな級数なのか書かないと、
質問にならないように思うのだけれど。
まさか、Σ[n=1→∞]e/(2のn乗) ではなかろうが…

ありがちなのは、A No.2 かな。
A No.3 のようにするのであれば、
項ごとに lim をとってよいことの論証が必要。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

rnakamra

e=Σ[k:0～∞]1/k! (1)
という式にたどり着くように変形する、という問題ではなかろうか。
教科書によってはこちらのほうがeの定義である場合もあるので。

(1*1/n)^nを展開してみましょう。
(1+1/n)^n=Σ[k:0→n](nCk)(1/n)^k (2)
です。
(2)式のn→∞としたときの極限が(1)式に一致することを示せばよい。

(2)式のΣの中身を変形後n→∞にして極限を調べる。

回答No.2

Rice-Etude

指数関数e^xをテイラー展開してみてください。

回答No.1

alice_44

計算も何も、それが e の定義でしょう？
教科書を見て御覧なさい。

補足

lim(1+1/n)^n=e　n→∞　は極限値の定義と言うことで理解できました。
∞
無限級数の形で答えをださないといけないのですが　どうやって∑　←ここをだせるのでしょうか？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　k=0