Σと∫って入れ替えできるんですか！？

質問

Σと∫を入れ替えられる条件とはなんでしょうか？
例えば
∫Σt^n/n!dt
という式があって
Σ∫t^n/n! dt
のようにΣと∫が入れ替えて使っているのを見たことがあります。

さらに、同じようにlimと∫が入れ替えて使える時と言うのはどういうときなんでしょうか？
lim∫1/t dt　
=∫lim1/t dt
みたいな感じです。

お願いします！教えてください！！

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか？
この交換での式変形はあっていますか？
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、無限範囲なのかも明記する
などして質問を投げないと希望するような回答は得られませんよ。
特に、特異なケースも含めた一般論の回答は特に難しいですから（現在も解決していない特異なケースも含まれる可能性もあるので）。

また、どの程度（高校レベル、大学レベル、それ以上の大学院や専門家レベル）での回答を求められているか、回答者には分かりませんし、
質問者に理解できないレベルの回答をしても意味がないですから。

有限と無限の間には、簡単に有限で成り立つ法則が必ずしも、無限では成り立たない（適用できない）ケースがしばしば現れますから。。。

お礼

又回答ありがとうございます！

数学については本当に無知な点が多いので、漠然とした質問をしていまいました；；
私の知りたかったのは多分無限項和の方です。
一応大学レベルの問題について質問したんですが、基礎的なことがまず分かってないので高校レベルかもしれません。。

私があった問題では、微分方程式の解の存在を証明するにあたって、
∫とlimの入れ替えがあったのですが、
例えば
∫(0,1) lim(n->∞) 2nxe^(-nx^2) dx=0 0<=x<=1
lim (n->∞) ∫(0.1) 2nxe^(-nx^2) dx=1
というように、入れ替えが出来ない場合があって、
どういうときにその入れ替えが可能なのかというのが知りたかったんです。

回答No.2

kabaokaba

>のようにΣと∫が入れ替えて使っているのを見たことがあります。
Σが有限和ならばいつでも自由に交換可能です．
Σが無限和ならばいつでも交換できるとは限りませんが，
たとえばΣがベキ級数ならば交換できます．
もっと厳密な表記は微積分の教科書を見てください．
応用的にはたいていはベキ級数なのでうまくいくというわけです．

>同じようにlimと∫が入れ替えて使える時と言うのはどういうときなんでしょうか？
こちらは簡単ではありません．
もちろん自明なケースはありますが，一般には
とてもややこしい十分条件があり，
それをきれいに書こうと思えば，
リーマン積分の範疇では難しいです．
ルベークの優収束定理とかを参照してください．

お礼

回答ありがとうございます！

Σが有限和なら交換可能とは知りませんでした。
数学に乏しいんで、ベキ級数というもの自体よく理解していないんですが、
まだ微分方程式を習い始めたばっかりなんで、もしかしたら習うかもしれません。
limと∫は難しいんですか。。
授業でさらっと１０分くらいで終わらしてしまったので全く理解できませんでした。。
リーマン積分もよく知りませんが、今度見てみたいと思います。
ありがとうございます！

回答No.1

info22

積分∫は元々Σの和の極限の式から導出されていますので、Σの性質を持っています。
したがって、Σや∫の変数をそれらの記号を超えてΣや分∫記号の左側に移動しない限り順序を交換できると言うことですね。
交換が可能かは、積分の元のΣの規則（性質）を満たす範囲で交換できますね。
limと∫についてもそれぞれの記号のもつ演算の規則（記号が使っている変数は記号を超えて左側に移動できないということ）を満たしている限り、記号の順序を入れ替えることが可能ということですね。

厳密なことは専門家に任せるとして、通常の数学の問題を解く上では、上のような変数を積分やΣやlimの外に出したりしなければ適用できるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます！

交換は出来る場合もあるとおもうのですが、出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで質問したのですが。。
シグマの性質のようなものを調べてみたんですが、意外にそういった基礎的なものはなかなか見つかりませんでした。；；
でも、ありがとうございました。