e=e^1の値

質問

定義(1)
e^x=lim[n→∞](1+x/n)^n

定義(2)
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...

定義(1)or(2)を採用したとき、
e=e^1の値を少数2桁まで求めよ。（注：eは無理数）

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私は高校数学IIBまで受けていなかったので、無限級数等の言葉の意味がわからず、先日出された上の問題も解法が思いつきません。
先生の授業のみようみまねで、
(1+1/n)^nのn=1,2,3,4,5,,,の計算をしてみましたが、これが答えにどう繋がるのかもよくわかりませんでした。

せめて(1+1/n)^n～が上の問題とどう繋がっているのか教えていただきたいです。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>(1+1/n)^n～が上の問題とどう繋がっているのか教えていただきたいです。
定義(1)でe=e^1を計算するには
e^x=lim[n→∞](1+x/n)^n
でx=1とすれば
e^1=e=lim[n→∞](1+1/n)^n
で計算できることになる。
後は、eの近似値が小数以下2桁目まで一致するには
limの中の「(1+1/n)^n」の計算をして、nをいくつ以上にすれば
小数以下2桁まで正しく計算できるかということです。

つまり、e=2.718...を小数第3位以下を四捨五入して2.72とした場合
(1+1/(n-1))^(n-1)の四捨五入値<2.72　かつ　(1+1/n)^nの四捨五入値≧2.72
を満たすnを求めれば良い。

小数第三位以下を切捨てる場合は、e=2.71として
(1+1/(n-1))^(n-1)<2.71　かつ　(1+1/n)^n≧2.71
を満たすnを求めれば良い。
という事になりますね。

実際に計算してみると
四捨五入を採用する場合なら
定義(1)
x=1としてnを与えた時 e=2.71828≒2.72まで一致するnを見つけると
n=413のとき(1+1/n)^n=2.7149982≒2.71
n=414のとき(1+1/n)^n=2.7150061≒2.72
となるのでn=414以上の項で小数以下2桁まで一致しますね。

定義(2)
x=1としてnを与えた時 e=2.71828≒2.72まで一致するnは
n=4のときΣ[k=0,4]1/k!=2.708≒2.71
n=5のときΣ[k=0,5]1/k!=2.7166667≒2.72
となるのでn=5の項までの和を計算すれば、2.72になり小数2桁まで一致。

「小数以下2桁まで一致する」ことが小数以下3桁目を四捨五入した結果が小数以下2桁まで一致するとするなら、上のnで良い。
しかし、小数以下3桁目以下を切り捨てて小数以下2桁まで一致するとするならe=2.71になるので、定義(1)でのn=164,定義(2)でのn=5となるね。

お礼

まったくわからなかったのに、段々わかってきました…！
わかりやすく教えていただき、ありがとうございました！

回答No.2

gef00675

解法もへったくれもありません。
（１）と（２）の二つの式は全然違う式ですが、実際に計算してみると、どちらも同じ値になるということを言っているのです。
不思議だと思いませんか？
なぜ同じになるのかを授業で説明してくれると思いますよ。

お礼

確実に私の勉強不足ですね。言われてようやくわかりかけました。
参考意見、ありがとうございました！

回答No.1

koko_u_

>(1+1/n)^nのn=1,2,3,4,5,,,の計算をしてみましたが、
>これが答えにどう繋がるのかもよくわかりませんでした。

いや、実際に計算させるのがこの問題の意図だと思いますよ。
n をいくつまで計算すれば、小数点以下 2桁まで間違いなく求まるかを考えるのが大変だと思いますけど。

お礼

質問者の意図を推測さえしてませんでした。。
参考意見、ありがとうございました！