【問題】∫[0 to 1](e^x-1)/(e^(2x)+e^(-x)

質問

【問題】∫[0 to 1](e^x-1)/(e^(2x)+e^(-x))dxを計算せよ。
e^x=tとおいて、e^x*dx=dt
これより、∫[1 to e](t-1)/(t^3+1)dtとおけたのですが…こっからどうにもできません^^;
どなたかよろしくお願いします!!!!

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

＞これより、∫[1 to e](t-1)/(t^3+1)dtとおけたのですが…こっからどうにもできません^^;
部分分数分解します。結果は
∫[1 to e](t-1)/(t^3+1)dt
=(1/3)∫[1 to e][(2t-1)/(t^2-t+1)-2/(t+1)]dt
=(1/3)∫[1 to e][g'/g-2/(t+1))]dt
g=t^2-t+1, ∫g'/gdt=ln(g) (微分すれば明らか）
よって
(1/3)∫[1 to e][g'/g-2/(t+1))]dt
=(1/3)[1 to e][ln(g)-2ln(t+1)]

計算はチェックしてください。
=(1/3)ln[4(e^2-e-1)/(e+1)^2]

お礼

ありがとうございました^-^ｗ
一回部分分数に分けようとして、恒等式の感覚で解こうと思ったんですが…片方の分子が0になってしまって^^;
これは違うな…。。。
って思ってましたｗ

回答No.5

alice_44

脱字訂正 :
(t - 1)/(t~3 + 1) = a/(t + 1) + (bt + c)/(t~2 - t + 1)
と置いたあと、通分して

お礼

訂正ありがとうございました^^ｗ

回答No.4

alice_44

分母を正しく因数分解できて、
部分分数分解した式を、未定係数を使って
適切に置くことができれば、
恒等式の考え方で処理できます。

t~3 + 1 = (t + 1)(t~2 - t + 1) より
(t - 1) = a/(t + 1) + (bt + c)/(t~2 - t + 1)
と置いたあと、
通分して、分子の係数を比較すれば、
a,b,c が求まります。

お礼

>(t - 1)/(t^3+1) = a/(t + 1) + (bt + c)/(t~2 - t + 1)
これを(t - 1)/(t^3+1) = a/(t + 1) + b/(t~2 - t + 1)としてました^^;

ありがとうございました^^ｗ

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の計算結果は
I=(1/3)ln{4(e^2-e+1)/(e+1)^2}≒0.16503
となります。ここで e は自然対数の底（ネイピア数）です。

なお、数式計算ソフトで積分結果が正しいことを確認済みです。

お礼

ありがとうございました＾＾

補足

すみません…
部分分数に直そうとしてもできません^^;
恒等式みたいにしたらできないのでしょうか??

回答No.2

info22_

>∫[1,e](t-1)/(t^3+1)dtとおけたのです
ここまではOKです。
被積分関数を部分分数展開して
I=(1/3)∫[1,e][{(2t-1)/(t^2-t+1)}-{2/(t+1)}]dt
=(1/3)[ln|t^2-t+1|-2ln|t+1|] [1,e]

後は代入するだけなのでできますね。
(ln(x)は自然対数log[e]x　のことです。)

お礼

ありがとうございましたーーｗ
いつも本当に助かります。。。