群の自由積について

質問

G,Hを群とするとき，以下の形で自由積G*Hが定義されます（画像参照）．

ここでこの自由積は群になるとのことですが，これはどういった具合に群をなしているのですか？
G*Hにおける演算，単位元，逆元がどうなっているのか具体的に教えてください．

回答No.1

goodknight · ベストアンサー

単に横に並べていくだけです。
(g1h1) と (g2h2) の積は g1h1g2h2 です。
ただし、それぞれの単位元 e, e' は省略できるものとします。
g1 e' g2 h2 = (g1g2)h2
結局単位元Eは
E=e e' = e e' e e' = ...
です。
逆元は
(g h)^-1 = e h^-1 g^-1 e' = h^-1 g^-1
てな感じです。
概念は簡単なくせに、細かいところを詰め始めると面倒になります。
表記として e h g e' に等価な h g を使ってよいかとか。

http://en.wikipedia.org/wiki/Free_product