半群・・・

質問

[問]
Ｓは集合ＡからＡへの全単射全体の集合とし、演算は通常の写像の積とする。
これは、群にらるか？また可換群になるか？

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群となるための３つの条件や、可換群の定義も理解してるのですが、
（分かったつもりかもしれませんが……）

集合ＡからＡへの全単射・・・・・・→　恒等写像？
演算は通常の写像の積とする。・・・→　？？？

結局分かりませんでした。
入門レベルで申し訳ないですが、よろしくお願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

f,g∈Sに対して、積fgは、(fg)(x)=f(g(x))で定義される写像。
ここに、x∈A
これもAからAへの全単射であり、fg∈S
これよって、Sには二項演算が定義される。

結合法則(fg)h=f(gh)（ここに、f,g,h∈S）が成り立つのは、
((fg)h)(x)=(fg)(h(x))=f(g(h(x)))
(f(gh))(x)=f((gh)(x))=f(g(h(x)))
より良いでしょう。

単位元は恒等写像Iです。
つまり、(fI)(x)=f(I(x))=f(x)、(If)(x)=I(f(x))=f(x)
より、fI=If

fの逆元は逆写像f^(-1)です。
つまり、ff^(-1)=f^(-1)f=I

よって、Sは写像の合成を積として群をなす。
しかし、一般に写像の合成は可換ではないので、Sは可換群ではない。

質問文を見ると、ほんの入り口にいるようなので、一応言うと、
全単射というのは、２つの集合の間でダブルことなく１対１の対応が
つくような写像、恒等写像というのは、自分自身への写像（変換とも
言います）でどの元も動かさないような写像のことです。

回答No.2

gururinbus

>集合ＡからＡへの全単射・・・・・・→　恒等写像？

（Aの元の個数が２個以上あれば、）恒等写像以外にもあります。

>演算は通常の写像の積とする。

おそらく、写像の合成のことかと思われます。

>群となるための３つの条件や、可換群の定義も理解してるのですが、

群や可換群の定義を理解しているのに解けないのならば、写像に関する性質(全単射、合成写像、逆写像など)についての理解が足らないのかもしれません。

写像に関して理解していて、群の定義などを理解できていれば、多分誰でも分かる問題かと思います。

まあ、問いに「演算は通常の写像の積とする。」書いたら、
「通常の写像の積」が「写像の合成」と解釈できない人は解けなくなってしまうので、すこしひどいような気がしますが…

回答No.1

Tacosan

「全単射」が恒等写像とは限らないのは自明. A = { 1, 2 } に対し f(1) = 2, f(2) = 1 で定義される写像 f: A → A は A 上の全単射だけど恒等写像ではない.
で写像の積は「合成写像」のこと.
こんなの調べればわかると思うけどね. さあ, あとは頑張れ.
ちなみに答えだけいうと「可換ではない群」だ.