群の問題

質問

「演算＊で定義され、偶数個の元からなる群Gにおいて、単位元でないGの要素aでa＊a=eを満たすものが存在する」という命題に証明を与えるのに苦労しています。一般にはどう証明したら良いのでしょうか。ヒントをお願いします。

回答No.5

muturajcp

定理「群Gの位数の素因数をpとしたとき、Gはpを位数とする巡回群を含む」の証明
群Gの位数|G|の素因数をpとすると pSylow部分群　P　が存在して
|G|=qp^n　,|P|=p^n, pとqは互いに素となる自然数q, nがある
|P|=p^n>1だからe≠a∈Gとなるaがある.aから生成される巡回群<a>⊂P
部分群<a>の位数|<a>|は|P|=p^nの約数となるから
|<a>|=p^k,1≦k≦nとなる自然数kがある
k=1のとき|<a>|=pだから<a>がpを位数とする巡回群となる.
k>1のときb=a^{p^{i-1}}とするとb≠e,b^p=a^{p^i}=eとなり,|<b>|=pだから
<b>がpを位数とする巡回群となる.

p=2とすると
(群Gの位数の素因数を2)=(偶数個の元からなる群G)
(<a>は2を位数とする巡回群)=(単位元でないGの要素aでa^2=a*a=eを満たすもの)

回答No.4

ojisan7

問題の意味を勘違いしていました。問題は、「群Gが偶数位数ならば、Gは位数２の巡回群を含む」ことを証明しなさい。ということですね。これは確かに正しい命題です。一般的には、「群Gの位数の素因数をｐとしたとき、Gはｐを位数とする巡回群を含む」という定理がありますね。

回答No.3

Tacosan

#1 です.
あ～, よく見たら G'' が偶数個の元からなるって説明はおかしいなぁ.... まあ, G'' ≠φ なら X ⊂ G'' かつ Inv(X) = { a^-1 | a ∈ X } = G'' \ X となる X が存在することは構成的に証明できるから偶数個なんだけど....
で, 要するに言いたいのは「a ∈ G' \ G'' ⇒ a^-1 = a & a ≠ e」ってこと.
ちなみに G' \ G'' は e を含まないので群にならないです.

お礼

そうですね、群にならないですね。
何かおかしな事書いてしまいました。
「a ∈ G' ? G'' ⇒ a^-1 = a & a ≠ e」の説明ですっきりしました。

ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

むずかしく考えることはないです。位数２の巡回群の実例をあげれば、いいんじゃないかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
実は、この問題の前問の方ですでに位数2の事が問われていたので、一般に拡張して論じた方が良いのではと考えていました。

回答No.1

Tacosan

念の為ですが, e は G の単位元ですよね?
群において, 任意の元に対してその逆元は一意に存在し, しかも逆元の逆元はもとの元だったかと思います. これが正しければ, 次のように考えればよいかと:
G' = G \ { e } を考えます. G が偶数個の元からなることから G' は奇数個の元を持ちます. また e^-1 = e なので, G' のどの元もその逆元は G' の中にあります. ここで G'' = { a ∈ G' | a^-1 ≠ a } を考えると, a^-1 の逆元が a であることから G'' は偶数個の元を持ちます (a ∈ G'' なら a^-1 ∈ G'' なので). 明らかに G'' ⊂ G' であり, しかも G' \ G'' は空ではありません. さて, G' \ G'' の元はどのような性質を持つでしょうか?

補足

>念の為ですが, e は G の単位元ですよね?
その通りです。説明の不足、申し訳ありません。

>さて, G' ? G'' の元はどのような性質を持つでしょうか?
G' ? G'' = { a ∈ G' | a^-1 = a } の奇数個の要素からなる群、でよろしいでしょうか？

Macを使っているせいか、G'とG''の間の記号を上手く入力出来ませんのでご理解願います。