群が集合に「自由に」作用することの意味

質問

群Gの元gと集合Xの元xについて、
gx = x　→　g =e （単位元）
が成り立つ、あるいは、固定部分群が単位元のみからなるときに、Gは、Xに自由に作用する（act freely）と言いますが、どうして「自由に」作用すると呼ばれているのでしょうか。

例えば、正四面体群P(4)は、頂点の固定部分群は単位元のみではないので、頂点の集合に自由に作用していないことになりますが、正四面体の頂点を全部を同時に置換する変換（長さ4の巡回置換）と恒等変換からなる群では、どの頂点の固定部分群も単位元のみなので、この群は頂点の集合に自由に作用していることになると思います。
後者の群は正四面体群の部分群で、正四面体群の方が変換の数が多いのに、後者の方が「自由に作用する」というのは奇妙な感じがします。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

Wikipediaを見てみるとfreeはfixed-point freeとも呼ばれているようです。つまり「自由に作用する」というのは「非自明な元が固定点が持たないように作用する」というだけです。freeの部分だけを訳して「自由」としたから変な感じになっていますが、特に深い意味はないと思います。

参考URL：

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_action#Types_of_actions

お礼

ありがとうございます。alcohol freeとかcaffeine freeと同じような意味でのfreeだったんですね。