群の乗積表の作り方は?

質問

(i) ∀a,b∈G,∃a*b∈G
(ii) ∀a,b,c∈G⇒(a*b)*c=a*(b*c)
(iii) ∃e∈G;∀a∈G⇒e*a=a*e=a
(iv) ∀a∈G,∃a'∈G such that a*a'=a'*a=e

という群の定義を知ったのですが

群G={0,1,2,3}の乗積表の作り方はどうするのでしょうか?

16マスの内の第1列と第1行は下記のように順に

0,1,2,3
1
2
3

となる事は単位元の定義から分かるのですがその他の空欄9マスはどうやって埋めてけばいいのでしょうか?

回答No.3

kabaokaba

>他にはないんですか?」と問うと「え?普通これが位数4の乗積表だけど…。他は知らない…。」

繰り返しますが，「位数4の群」は複数存在します．
まさ先生じゃないですよね・・「他は知らない」なんて
数学の先生ならいうはずがないです．
言ってしまいましょう．
位数4の群は「クラインの四元群」と「巡回群」Z4です．

クラインの四元群は，iを虚数単位として
{1,i,-i,-1} と書ける群で，「正二面体群」とも呼ばれます．
また，Z2 x Z2と書くこともできます．
乗積表は以下の通り
1 i -i -1
1 1 i -i -1
i i -1 1 -i
-i -i 1 -1 i
-1 -1 - i i 1

これ以外には存在しません．
これは群の定義で初等的に導けます．

G={e,a,b,c}が群をなすとする．eは単位元とする．
(a,b,cは単位元ではない)
a^2=aとすると，a=eとなるので
a^2=e または a^2=b または a^2=c である．
(1) a^2=e のとき
(1-a) b^2 = e だと仮定する．
ab=aとするとb=e，ab=bとするとa=e
ab=eとするとa=b^{-1}=b
これらは矛盾．したがって，ab=c
同様にして，ba=cなので，ab=ba
したがって，G={e,a,b,ab} a^2=b^2=e，ab=ba
＃これが「四元群」
(1-b) b^2=a と仮定する
ab=aとするとb=e，ab=bとするとa=e
よって，ab=eまたはab=c
ab=e とすると，a = b^2 = a^{-2} なので　a^3 = e
a^2=e が仮定されているので a=e となり矛盾
したがって，ab = c
b^2=aだったので．c=ab=b^3
＃b^4=a^2=eであることに注意
つまり，G={e,b^2,b.,b^3} これが巡回群
(1-c) b^2=c と仮定する
これは (1-b)でaとcを取り替えればよい
(2) a^2=b のとき
(2-a) b^2 = e だと仮定する．
(1-b)と同様である
・・・・以下，同じように場合わけを繰り返す
＃本当はもっとすっきり整理できますが
＃群の定義しか使わない場合は，地道に分類していくことになります．

とこういう具合です．
こだわってらっしゃる「効率的な方法」は
位数4の場合は，
上でふれた「もっとすっきり整理した」ものが
それに相当します．
＃「元の位数」は「群の位数」の約数であることがポイント
一般論としては，剰余群とか類等式・ラグランジュの定理を始め，
シローの定理くらいまでは初等的な道具です．

回答No.2

kabaokaba

>複数か単数かを判別する方法ってあるのでしょうか?
あるといえばあるし・・・ないといえばないような。。。
位数を与えてその群の構造を決定するというのは
とてもとても深遠な問題です，とくに位数が巨大な場合は．

>もしかして残り9マスだから4^9通りの場合で群をなすか調べねばならないんですかね。

そう思ったらやってみるのです．
ただし，最初に全パターンを書き出すのは無駄すぎます．
数独のように「もしここがXXだったら」と処理しましょう．
やってるうちに規則が見えてきます．実際は9マス全部が
自由なわけではなく，かなり「束縛」があることが分かります．

実際にこういう地道な作業をすると
皮膚感覚みたいなものが身についてきます．
これはとても有用です．
群の定義がいかに強いものか，
どれほど考え抜かれてできたものかが見えてきますよ．
＃もうちょっと習えばすごいものが色々出てきます．

====================
位数4の群は複数存在します．
何個あるかはあえていいません（有名なので何かの本にでてるはず）．
地道に場合わけして，群の定義を適用していくことで
初等的に証明できます．

お礼

時間が無くて遅くなりましてすいません。

> >複数か単数かを判別する方法ってあるのでしょうか?
> あるといえばあるし・・・ないといえばないような。。。
：
> どれほど考え抜かれてできたものかが見えてきますよ．
> ＃もうちょっと習えばすごいものが色々出てきます．

時間があればやってみたいと思います。

> ====================
> 位数4の群は複数存在します．
> 何個あるかはあえていいません（有名なので何かの本にでてるはず）．

うーん、見つけれませんでした。どうやって求めるのでしょうか?

> 地道に場合わけして，群の定義を適用していくことで
> 初等的に証明できます．

因みに正解はZ_4に見立てて

・,0,1,2,3
0,0,1,2,3
1,1,2,3,0
2,2,3,0,1
3,3,0,1,2

でした。「他にはないんですか?」と問うと「え?普通これが位数4の乗積表だけど…。他は知らない…。」

Z_4に見立てない場合(紛らわしいので文字で表します),位数4 {a,b,c,d}が群をなす時の乗積表の効率の良い作り方をお教え下さい。

回答No.1

koko_u_

単純に 4 つの元 {a_1, a_2, a_3, a_4} から成る群 G ということですか？
その場合、群の構造は複数の可能性がありますね。すべてを列挙したいのですか？

お礼

> 単純に 4 つの元 {a_1, a_2, a_3, a_4} から成る群 G ということですか？
はい。

> その場合、群の構造は複数の可能性がありますね。
複数か単数かを判別する方法ってあるのでしょうか?

> すべてを列挙したいのですか？
できれば。。。

もしかして残り9マスだから4^9通りの場合で群をなすか調べねばならないんですかね。調べ方は単純に9マスを適当に埋めて結合法則が成り立つかどうか地道な作業を行なうしかないんでしょうか?
効率的な方法って無いんでしょうか?