代数学 交換子群は部分群か

質問

いつもお世話になります。
交換子群というのありますよね？[H,K]という、H,Kの二つのGの部分群で構成されている交換子群はどうやったらGの部分群だとわかりますか？証明方法がピンときません。二つの交換子の積が交換子になっていればいいのでしょうが・・・。よろしくお願いします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

念のためですが、普通、群Gの交換子群というと[G,G]と書きます。二つの部分群H,Kからなる交換子群[H,K]というのは初耳です。ですが、まあいずれにせよ、部分群になることは定義から自明なのです。通常の[G,G]の場合は、普通、交換子[a,b]:=aba^{-1}b^{-1}すべてから生成される部分群、というように定義します。ここで重要なのは、“生成される"という用語であり、積が必ずしも閉じるとは限らないということです。つまり、[a,b]・[c,d]=[e,f]を満たすようなe,fが存在するとは限らない、ということです。もっというと、交換子群の元は、必ずしも二つの元の交換子の形で表されるとは限らない、ということです。生成される、という語の意味は、[a,b]という形の交換子をすべて含む群の中でもっとも小さいもの、という意味です。そのような最小の部分群が存在するということは、交換子すべてを含む群の共通部分をとればよいので明らかです。部分群の共通部分もまた群になるからです。

同様に、《[H,K]:={hkh^{-1}k^{-1}|h∈H,k∈K}》ではなく、《[H,K]:={hkh^{-1}k^{-1}|h∈H,k∈K}から生成されるGの部分群》であると思われます。たとえば、H=K=Gのときが、通常のGの交換子群と呼ばれるものですが、上でも述べたとおり、[G,G]の元であって、[a,b]の形では決してかけないようなものは存在します。

回答No.2

ojisan7

交換子群の定義をもう一度見直して下さい。

[H,K]＝<[h,k];h∈H,k∈K>

ですから、交換子群は交換子で生成される群ですから、Ｇの部分群であることは自明です。証明の必要はありません。

キーワードは『生成』と言う言葉です。

お礼

お二人に説明されてようやくわかりました。<>という記号を確かに使っています。これは元より生成される群の意味でしたね。どうもへんだへんだと思っていたらそういうことでしたか。ご面倒をおかけしました。
非常に良くわかりました。
何度もご説明いただいているので、セミナーの近況でも報告しようかなと思います。只今有限生成なアーベル群の構造について考察しているところです。階数が基の取り方によらないことや、自由アーベル群の部分群が自由アーベルであること、トーションに関しての定義などを今日やってきました。本当は今年度中に群論を全部終わらせる予定だったのですが、無駄話にばかり花が咲いて、今月中に教科書の群論の基本理論だけでも終わらせようと必死です。週に三度ほど集まり、一日一人が担当、二ページを終わらせる、一日二時間と少しという急ピッチであたふたしております。それまではまたここのご厄介になると思いますので、気が向いたらまたご回答のほどよろしくお願いいたします。
どうもありがとうございました。