群、半群だと何が嬉しいのですか？

質問

群論（？）について全くといっていいほど勉強したことがないのですが、他の分野の勉強をしている時によく群や半群といった言葉が出てきます。
・結合則を満たす時に半群
・更に逆元と単位元が存在すれば群
という定義はわかるのですが、群や半群だと何が良いのでしょうか？
（群にはどんな性質があるんでしょうか？）

線形代数の時に、置換は群をなすとか。
力学系の勉強をしている時に、解軌道が半群をなす。
とかチマチマ出てきていたのですが、「定義は確かに満たしてるのはわかるけど… だから何？？何がいえるの？」という疑問がいまだに残っています。

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

「群になる」ことが結論なのではなくて、「群であるので○○が言える」の○○の部分が結論です。

あなたの読んだ力学系の教科書で「半群となる」の後にどんな結論を得ているのかに注目して下さい。

お礼

ありがとうございます。
置換に関しては、群になることを説明していただけで結論が出ていなかったので疑問がわきました。

力学系の方に関しても、結論が出ていなかったように感じたのですが
s(t',s(t,x0)) = s(t+t',x0)
がひょっとしたら結論のような気もします…
感覚的に当たり前なのでこの部分を気にしてませんでした。

回答No.2

jmh

群や半群に関していえたコトの「すべて」がいえて嬉しいです。

お礼

回答ありがとうございます。
残念ながら私にはあまり理解できません。

群や半群であれば、「群や半群に関していえたコト」がいえるのはもちろんわかります。
それでは「群や半群に関していえたコト」とは何を指すのですか？
というのが質問なのですが…

とりあえず調べたところ、群、半群についてある程度のことはわかりました。
そろそろ締め切りたいと思います。