非可換群

質問

単位元でない，任意の二元の演算が，常に非可換となるような群は存在するのでしょうか？
もしもご存知であれば，有限群と無限群について，また，有限群であれば位数は最小のものを教えてください．

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

先ず、aとaとは常に可換なので、その意味で単位元でない任意の二元の演算が非可換となる群は存在しない。

条件をゆるめて、「単位元と（単位元でない）自分自身以外の元との演算が非可換」であるものはあるかを考える。すると、aとa^{-1}は可換なので、常にa = a^{-1}でなければならない。
つまり、『単位元以外の任意の元の位数が2』となる。ところがよく演習問題であるとおり、『』を満たす群は可換群である。

よってお尋ねのような群は存在しない。

お礼

なるほど，ありがとうございます．
ちょうど演習問題にぴったりな感じの問題でしたね