置換群の部分群について

質問

大学の講義で次のような問題が出て、とりあえず解けたのですが、もっわかりやすい解答がないか考えています。

考えているのは次のような問題です。
置換群Ｓ[4]（x[1]、x[2]、x[3]、x[4]上の置換群）の部分集合Ｈを次のように定義する。
Ｈ＝{σ∈Ｓ[4]｜x[1]x[2]＋x[3]x[4]＝x[σ(1)]x[σ(2)]＋x[σ(3)]x[σ(4)]}
このとき、ＨはＳ[4]の部分群であることを示し、その位数を求めよ。

私の思いついたやり方は、まずＳ[4]の２４個の元をすべて書きだして、その中でＨに含まれているものをさがし、それらの積の表をつくって、群になっていることを示す、という方法です。しかし実際にやってみるとＨの位数は８であり、積は６４通りあるのでこの方法では効率が悪いです。もっとエレガントな解答はないのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.6

Tacosan

あれ? ひょっとして私も (別方向に) 問題を勘違いしてるか?
念のため, H の要素をすべて列挙し, そのうちのいくつかについては「H に属する根拠」を示してもらえますか?

回答No.5

arrysthmia

←No.3 補足
そっちか。
No.3 の解釈のほうが、エレガントな問題だったが…

それだと、S[4] の中から H の元を拾い出す他には
解法が無く、一覧表は避けられない。

x[1] x[2] ＋ x[3] x[4] の対称性に着目して、
4! 通り全ては試さずに、4Ｃ2 / 2Ｃ2 通りで済ます
くらいが、せめてもの小技か。

回答No.4

Tacosan

#3 の「ちなみに」以下は理解できてるのかな?
8個の元のうち 1つは恒等置換だから無視できて 49通りに減らせますよね.
多分表を作ることは必要ですが, 組合せは 3通りでいい (あとはがんばって証明する) ような気がする.
証明が面倒なら 5通りくらい必要かな.

回答No.3

Tacosan

えぇと, 定義が微妙におかしい気がする.
S[4] を { 1, 2, 3, 4 } 上の置換群としないとその H は意味不明じゃないか? つまり「4つの変数 x[1]～x[4] を適当にシャッフルする」ことを考えているんでしょう, きっと＞#2. 正確なところは質問者が教えてくれるでしょうが, 直観的にはこんな感じ.
ちなみに「H の元を適切に分解する」のが簡単かな.

補足

間違えました。Ｓ[4]は{ 1, 2, 3, 4 }上の置換群です。

回答No.2

arrysthmia

エレガントな解答の前に、
H をエレガントに定義しないと。
S[4] が作用する対象は、
元が 4 個であれば、どんな集合でも
かまわないから、
質問の説明だけでは、x[ ] がナニモノなのか
判らない。
従って、H を定義する式の意味も…

回答No.1

koko_u_u

普通に部分群になる条件が成立することを示すだけだと思うんですけど、
例えば σ、τ∈ H ⇒ στ∈H なることをその定義から示して補足にどうぞ。