テンソル

質問

テンソルで、

T_ij=e_i・T(e_j)

という表し方はどうしてこのように表すことが出来るのでしょうか。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

>[e_i] T {e_ j} = e_i・(T e_ j)
が良くわからなかったのですが、これはどうしているのでしょうか。

T{e_ j}　は正方行列と列ベクトルの行列積ですから，列ベクトルになります。
すると，[e_i] T {e_ j}　は行ベクトルと列ベクトルの行列積ですから，スカラー積（内積）になりますね？　最後の　e_i・(T e_ j) は，ベクトル e_i とベクトル T e_ j の内積を意味しています。

お礼

遅くなりましたが、親切丁寧にどうもありがとうございました！

回答No.1

yokkun831

もともとテンソルは、ベクトルの直積という構造をしています。

直積を●、内積を・、列ベクトルを{A}、行ベクトルを[A]と書くことにします。また記号のない積は行列積と考えてください。

T ＝ A●B ＝ {A} [B]

すなわち成分で書くと、

T_ij = A_i B_ j

です。

ところで、基底（単位ベクトル）を用いると

A = A_i e_i　（iについて和をとる）
A_i = A・e_i

と書けますから、

T_ij = A_i B_ j = (A・e_i) (B・e_ j) = [A] {e_i} [B] {e_ j} = [e_i] {A} [B] {e_ j} = [e_i] T {e_ j} = e_i・(T e_ j)

となるのです。

補足

回答ありがとうございます。

最後の

[e_i] T {e_ j} = e_i・(T e_ j)

が良くわからなかったのですが、これはどうしているのでしょうか。
申し訳ありませんがよろしくお願いします。