3次元のリッチスカラー 一般相対論 リーマン幾何

質問

3次元球面のリッチスカラー曲率についての疑問です。

よく知られたように、2次元球面（半径r）のガウス曲率はK=1/r＾2 で、
リッチスカラー曲率はR=2/r＾2 です。両者にはR=2Kの関係があります。

本やwikipediaなどによると、
一般的に、半径rのn次元球面のリッチスカラー曲率はR=n(n-1)/r＾2
となるようです。（ガウス曲率との関係は R=n(n-1)K です）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%8E%87

そうすると、3次元球面のリッチスカラー曲率は R=6/r＾2 になります。
（閉じたロバートソン・ウォーカー時空の、空間部分にあたるものです）

ここで疑問なのですが、なぜ3次元の曲がりなのに、
r＾2のような2次元の曲がりの量を用いて表現可能なのでしょうか？

2次元の曲率が1/r＾2 に関係する量になることは、
ガウス曲率の定義（1次元の曲率 1/r の2方向の曲がりの積を取る）
などからも素直に理解できます。
3次元で素直に考えると、3次元のガウス曲率は3方向の曲がりの積を取り、
1/r＾3のように表現され、リッチスカラー曲率もr＾3の逆数に比例する量で
表されそうな気がしてしまいます。

「空間の曲がり」が「曲面の曲がり」で表現できてしまう事が
どうもよく分からずにいます。どうぞよろしくお願い致します。

回答No.2

ibm_111

そうすると、私なりにこの疑問を書き換えると、
以下のようになります。

「n次元体積の比」の式で、second orderが2次になるのはなぜか？
（別にn次になってもいいじゃん？？）

こうなると、「n次元体積の比」の式の導出を知る必要があります。
しかしながら、ネット上で気軽にさがそうとして失敗しました。

遡っていくと、
時空の曲率がリーマン曲率テンソル、つまり、
平行移動した2つのベクトルの差で表されるのはなぜか？
さらに、
計量がg_μνdx^μdx^νのように2次形式で書けるのはなぜか？
というところに落ち着きそうな気がしますが、根拠はありません。

回答No.1

ibm_111

なかなか面白い疑問ですね。
このへんはあまり詳しくないので、
以下では、wikiの記述を全面的に信用することにします。

まず、おそらくあまり関係がないところから。

>（ガウス曲率との関係は R=n(n-1)K です）

ガウス曲率って3次元空間内の2次元曲面にしか
定義できないんじゃなかったでしたっけ？
これについては、まったく自信がないので、流してくれて結構です。

>ここで疑問なのですが、なぜ3次元の曲がりなのに、
>r＾2のような2次元の曲がりの量を用いて表現可能なのでしょうか？

たぶんこちらが、疑問の核心だと思います。
wiki「スカラー曲率」の記事の、項目「直接的な幾何学表現」中、
「多様体のユークリッド空間に対する半径εの球のn次元体積の比」の式を見ると、

右辺第二項はSε^2で、これは無次元（単位がない）でないといけません。
εは長さの次元を持つので、Sは（長さ）^-2の次元を持つ必要があります。

要するに、「n次元体積の比」を半径εで展開すると
second orderが2次の項から出てくる都合上、
Sが次元を持つのは仕方がないといったところでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

>ガウス曲率って3次元空間内の2次元曲面にしか
>定義できないんじゃなかったでしたっけ？

様々な微分幾何の本にあたりましたが、
確かにn≧3での定義は見当たりませんでした。

>second orderが2次の項から出てくる都合上、
>Sが次元を持つのは仕方がないといったところでしょうか

はい、そういった要請上、 1/r＾(-2) が出てくる事自体は分かります。
リッチスカラー曲率の定義から計算上そうなる事もよく分かるのですが、
なぜ1/r＾(-2) に比例する量で曲率が表せてしまうのか
やはりどうも釈然としない感じです。
（計算結果で納得できるような類の疑問ではないのかもしれません）
もう少し考えてみます。

補足

誤植訂正です。

1/r＾(-2)　⇒　 1/r＾2