リーマンの曲率テンソルについて

質問

リーマンの曲率テンソルについて

前回も似たようなことで質問したのですが、考えても少し納得のいかないところがあったので再度質問させていただきました。

３次元の場合、

リーマンテンソルR_αβγδの独立成分の数は６。一方リッチテンソルR_αβの独立成分に数も６であるからR_αβγδは係数を計量テンソルg_μνとするR_αβの線形結合で書き直せるはずである。

と本に書いてあるのですが、独立成分がともに６となるのはわかるのですが、なぜそう書けるのかわかりません。。

どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

ま、そんな感じです。

で、やりたい事は
R_αβ=g^μνR_ναμβ
この連立方程式を、R_ναμβたちについて解く事です。
今の場合、変数も式も(独立なものは)６個なので、この連立方程式は解けてその解はR_αβの線形結合になりますよね

お礼

実際に解いてみましたら、おっしゃるとおりR_αβの線形結合になりました。

ようやく納得できました！
お忙しい中付き合っていただき本当にありがとうございました！

また悩んだときよろしくお願いします。

回答No.2

eatern27

右辺のR^μ_αμβをR_ijklで表すと(つまり添え字を下に下げると)どうなるのでしょうか？
これが分かるのなら、前の質問の私の回答に対するお礼の件は分かると思うのですが。

お礼

R_αβ=R^μ_αμβ=g^μνR_ναμβ（合ってますか？）

となるのでリッチテンソルは計量テンソルを係数とするR_αβγδの線形結合で書けるということでしょうか？

すみません。
R_αβとR_αβγδの独立成分の数が等しいから、R_αβγδがR_αβの線形結合で書けるという点がまだよくわからないのですが。。。

回答No.1

eatern27

リッチテンソルはリーマンテンソルを用いてどのように定義されているのかはご存知ですか？

お礼

アインシュタインの規約を考慮すると

R_αβ＝R^μ_αμβ

ですよね？