アインシュタイン方程式について教えて下さい。

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

の数式について一つ一つ、解説していただけると嬉しいです。

Guv=Tuvとすると、（カッパ省略）

「計量テンソル＝エネルギー・運動量テンソル」
という式が、アインシュタイン方程式という事になります。（素人ながら。）

このことが一体何を意味するのか、
素人にも分かりやすく教えていただけると、大変助かります。

テンソルについてはベクトル同様、今後学んでいこうと思っていますが、
「この方程式が何を言いたいのか」少しでもリアルに、今の時点からつかんでおきたいんです。

よろしくお願いします。

次に、
1/2Rの意味と、8πG/C^4

について解説していただけると嬉しいです。

最後に、
「テンソル」と「ベクトル」を学びたいと思ったのですが、
コレは高校３年分の教科書を終わらせれば普通に理解できますか？

よろしくお願いします。

回答No.4

shiara

反物質世界と物質世界の「両方で同じ事が同時に進行しているとしたら」、というのが何を言っているのか分かりません。反物質が集まった世界があったとしても、「同じことが同時に進行」というのは現実的ではありません。それに対して、係数が2倍になるという理由もまったく分かりません。これから先は、ご自分でお考えください。

補足

物質世界と反物質世界が
同時に同じ現象を起こしている事が実証されたら

16πという式で
「物質世界・反物質世界」両方を記述したことになるじゃないですか。

まさにそうです。

回答No.3

shiara

No2です。アインシュタイン方程式は、エネルギー運動量テンソルＴμνがあれば、重力場ｇμνができるということを言っているものであって、そのエネルギー場は反物質であろうとなかろうと関係ありません。つまり、反物質が作る重力場も同じ方程式になります。物質と反物質の両方があっても、物質項が2倍になることもありません。式の導き方を見れば、そのような考え方は出てくるはずもありません。思い込みで考えるのではなく、式を正しく理解して考えるようにすべきです。

補足

いえ
反物質世界と物質世界の
「両方で同じ事が同時に進行しているとしたら」、

その和は１６πになるのかな、
という単純な足し算の問題です。

その意味で再びよろしくお願いします。

レスありがとうございます。

回答No.2

shiara

ニュートン力学では、重力ポテンシャルφは次の式から求められます。
∇^2φ = 4πGρ　　(1)
アインシュタインの重力方程式は、この式を素直に4次元に拡張したものだと言えます。この式からアインシュタインの重力方程式を求めるやり方は、大まかに以下のようになります。なお、アインシュタイン方程式で扱う重力ポテンシャルは、ｇμνという2階の対称テンソルであることが分かっているとします（これについては別の考察が必要です）。
まず、式(1)から、左辺は重力ポテンシャルの2階の微分からなっていること、右辺は物質を表す量からなっていることが分かります。そこで、アインシュタイン方程式も、左辺は重力ポテンシャルｇμνの2階までの微分を含む式であること、右辺は物質を表す式であるものとします。
はじめに右辺から考察を始めます。式(1)では、右辺には質量密度ρが来ていますが、質量とエネルギーが等価であることを考えると、より本質的には右辺にはエネルギー（およびその空間成分である運動量）が来るべきと考えられます。しかも、座標変換に対して共変であることから、テンソルである必要があります。そこで、右辺に来る量として最も適切と考えられるのは、エネルギー運動量テンソルＴμνとなります。
次に左辺を考察します。右辺が2階の対称テンソルＴμνとなるなら、左辺も2階の対称テンソルでなければなりません。そして、ｇμνの2階までの微分を含む式でなければなりません。そのようなものとして最もふさわしいものが、リッチのテンソルＲμνと呼ばれるものです。さらに左辺に来る候補としては、ｇμνにスカラー量を掛けたものがあります。そのスカラー量としては、リッチのテンソルを縮約したスカラー曲率Ｒがあります。また、ｇμνに単なる数を掛けたものも左辺に来ることができます。これらをまとめると、
左辺＝Ｒμν＋a Ｒ ｇμν＋b ｇμν
となります。係数aは次のようにして求めます。右辺のＴμνは、その共変微分の発散がゼロになる性質を持っています。したがって左辺も同じように、共変微分の発散がゼロにならなければなりません。そうすると、a=-1/2となります。bは理論的には求められません。通常はゼロとしますが、宇宙論ではゼロでないとする考えもあります。ここではとりあえずゼロとします。
最後に、右辺の係数κを求めます。それには、アインシュタイン方程式が非相対論的極限で式(1)になるものとして求めます。ニュートンの重力ポテンシャルφと、ｇμνの00成分との間には、ｇ00＝1＋2φ/c^2という関係があります。これを式(1)に代入し、また、エネルギー運動量テンソルＴμνの00成分は、Ｔ00＝ρc^2であることから、式(1)は、
∇^2 ｇ00= 8πG/c^4 Ｔ00
と書けます。これがアインシュタイン方程式の非相対論的極限の式と考えられるので、求める係数κは、8πG/c^4となります。

補足

つまり、
アインシュタイン方程式の

8πG/c^4

は、

球の表面積
4πに
「反物質の世界」までを加えて

８πにした、ということではないというワケですね？

アインシュタイン方程式を、
反物質世界と物質世界の両方で展開して、
両方の計算結果を足したら、
結果的には

１６πになる、という解釈でよろしいのでしょうか？

レスありがとうございます。

回答No.1

chuuchuu07

アインシュタイン方程式は、右辺にエネルギーや質量が存在すれば、空間を曲げる(左辺)ことを表しています。
　例えば、太陽が存在するため、その周りの空間は歪み、その窪地に入り込んで地球が太陽の周りを公転しています。さらに、太陽付近を通る星の光は重力によって曲げられることもあります。また、ブラックホールなどの現象もこの方程式によって説明されます。

＞計量テンソル＝エネルギー・運動量テンソルという事になります。

アインシュタイン方程式は計量テンソル自体を求める事が目的なので、これは間違っています。結果的には計量テンソルを求めればよいのですが、この式はあまりにも複雑なので、厳密解は数えるほどしか存在しません。シュバルツシルト解やカー解などが代表です。

＞1/2Rの意味と、8πG/C^4

これはアインシュタイン方程式を導くために係数合わせをした結果です。また8πG/C^4は00成分(ニュートン近似)を代入して計算した結果になります。

＞テンソル」と「ベクトル」を学びたいと思ったのですが、
　コレは高校３年分の教科書を終わらせれば普通に理解できますか？

数学自体は新たに学ぶ分野はそれほど多くないので理解できると思います。

独学で学ぶのであれば、まずはアインシュタイン方程式を自分で導いてみてください。参考書がたくさん出ています。

お礼

ありがとうございます。