4成分でないDirac方程式

質問

普通Dirac方程式といえば、4*4の4つのγ行列
{γ^μ,γ^ν}=2g^{μν}
を満たすもので、特にディラック表現のものを用いて書きます。
ですが、ディラック表現以外にも具体的なγ行列の表式はありますよね。
また、4*4でないもの(6*6や8*8など)の場合もガンマ行列は作れるはずです。

(1)
4*4の場合、ディラック表現とユニタリ同値でないものはありますか。
ないのであれば、その証明も知りたいです。
あるのであれば、どのくらいあるのでしょうか。

(2)
6*6や8*8のγ行列、というのはあまり聞きません。
任意の偶数次元に対して、ガンマ行列は構成できますか。
また、その場合、4*4とは何か本質的に異なる性質を持ちますか。

(3)
4*4、といえば、時空の次元も4ですが、これは偶然ですか。
あるいは、(2)の質問と関連しますか。

質問が多くてすみませんが、一つでも答えられるものがあればお願いします。

回答No.3

boson

SGCライブラリ105
「ディラック方程式」
日笠健一 著
サイエンス社 刊
http://www.saiensu.co.jp/?page=book_details&ISBN=ISBN4910054700343
の
付録D、付録E
はご覧になりましたか？

以上ご参考まで。

参考URL：

http://www.saiensu.co.jp/?page=book_details&ISBN=ISBN4910054700343

回答No.2

ibm_111

どんな回答が来るか楽しみでしばらく見てましたが、あんまり来ないですね・・・

で、この質問はγ行列の個数ではなくて、n次正方行列と言った時のnの話ですよね？
n=4となるのはスピンの自由度と粒子反粒子の自由度に対応するはずなので、
時空の次元とは無関係ではないかと。

さらにこの考えを進めると、n=6のときのDirac方程式は
スピン3/2の粒子に対応すると読んでいるのですが、
スピン3/2の粒子はラリタ＝シュウィンガー方程式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%82%BF%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
に従うらしいです。

これによると、n=6のγ行列は直接は出てこなさそうなので、
この推論は全く間違いか
n=4のγ行列を用いた式に書き換えられるということなのか、
全くわかりません。

回答No.1

noel_lapin

【回答じゃありません】
ただのコメントです。

（３）は偶然ではないと思います。γ行列は波動関数の４つの座標での微分に対する係数なので、時空の座標の個数だけγ行列が必要だと思います。

（２）はガンマ行列の交換規則（［γ，γ］＝ｇ）でｇとして5*5や6*6の単位行列をとれば、6*6などのγ行列の表現を考えることができる気がします。同じ形の交換規則を満たす、ということを「本質的な性質」だというと、代数の表現の数学的性質（既約表現とか）をｗｅｂや本で調べれば答えがわかる、気がします。

なぜγの大きさが偶数に制限されるのでしょうか？４成分のγの横と縦にゼロを並べて対角に１を置くと5*5のγにならないんでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
ガンマ行列の大きさは表現行列のサイズの事です。
本質的、というのは物理的な結果(スピンや双一次形式の変換性など)に差が生まれるか、ということです。
行列のサイズは、固有値が±1に限ること、trγ=0から導かれます。