球面のリーマン計量

質問

球面のリーマン計量を教えてください。平面では

1 0
0 1

というテンソルであることは知っています。球面ではどういう表式になるのでしょうか。
それが出ているURLを教えていただくのでも構いません。自分でも探したのですが
見つかりませんでした。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

計量は局所座標系のとり方によってどうとでもなりますが
極座標でrを固定して球面を表現すると
緯度、経度(ラジアン)に対する計量は

×=r(cosθcosψ、sinθcosψ、sinψ)

θ(=q1):経度 ψ(=q2):緯度

とすると
g11=∂x／∂θ・∂x／∂θ=r^2(cosψ)^2
g12=x／∂θ・∂x／∂ψ=O
g21=x／∂ψ・∂x／∂θ=O
g22=x／∂ψ・∂x／∂ψ=r^2

つまり経度方向の計量は緯度が高くなると
縮小してゆくという形になります。

お礼

よく分かりました。ありがとうございます。