三次方程式の解

質問

4ax^3-(a+2c)x^2+(c/2+ab+bc)x-bc/2=0
という方程式が計算をしていたら出てきたのですが、この方程式のxの解はどうやって求められるのでしょうか。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

a, b, c が数値で与えられているのであればなんとでもなる (一応公式もあるし, 最悪でも数値計算できる) のですが, 文字のままだと頑張って因数分解するか, さもなければあきらめるかの 2択ですね～.
ちなみに #1 のように連立させても, 多分無駄です. というか, 三次方程式を解くために三次方程式を解かなければならない, ってのはかなり不条理.

お礼

回答ありがとうございます。やはりなかなか解くのは難しいようですね～。

回答No.1

at9_am

三次関数とのことなのでa≠0とします。

f(x)=4ax^3-(a+2c)x^2+(c/2+ab+bc)x-bc/2
とおくと、この関数は最低で１つの実数解を持ちます。よって、
f(x)=4a(x-α)(x^2+βx+γ)
と書けるはずです。恒等式から、
4a(-α+β)=-(a+2c)
4a(γ-αβ)=(c/2+ab+bc)
4aαγ=-bc/2
となります。３変数３連立ですので、解は一意に定まります。するとf(x)=0のとき、x=αまたはx^2+βx+γ=0です。x^2+βx+γ=0は二次方程式なので、解の公式から解を求めることができます。

お礼

回答ありがとうございます。しかし
4a(-α+β)=-(a+2c)
4a(γ-αβ)=(c/2+ab+bc)
4aαγ=-bc/2
をとくのも難しい気が・・・。