２次方程式の異符号の実根の必要条件に関しての質問です。

質問

２次方程式の異符号の実根の必要条件に関しての質問です。

ax^2+bx+c=0のときに異符号の実根をもつときはac<0となる

という必要条件なのですがなぜac<0となるのかがわかりません。

f(x)=ax^2+bx+c　とおきf(0)<0　となる時に異符号の解をもつという理論を使い、
c<0という必要条件なら理解するのですがなぜac<0も必要条件となるのでしょうか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞f(x)=ax^2+bx+c　とおきf(0)<0　となる時に異符号の解をもつという理論を使い、c<0という必要条件なら理解するのですがなぜac<0も必要条件となるのでしょうか？　

　質問者さんは、y=f(x) のグラフがいつでも下に凸になると勘違いしていませんか？

　a>0 なら　y=f(x)は下に凸で　c<0 が必要です。
　しかし　a<0 なら　y=f(x)は上に凸になりますので、　c>0 が必要になります。
　従って、これらをまとめて　ac<0 となります。

　さらに、この　ac<0 という条件には　a=0（y=f(x)が１次関数）である場合を排除しています。
　y=f(x)が１次関数でしたら「異符号の実根をもつ」ことはできませんのでね。

　従って、単に　f(0)<0 という条件だけでは　不十分であり、誤りでもあるのです。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。
まことにご指摘の通りでした。おかげで解決いたしました。ありがとうございました。

回答No.2

info22_

異符号の2根をm,nとすれば
ax^2+bx+c=a{x^2+(b/a)x+(c/a)}
=a(x-m)(x-n)=a{x^2-(m+n)x+mn}=0
となり、2根の積mn=c/a<0(∵mとnが異符号)
なので
異符号の必要条件は
c/a<0
これは方程式が2次方程式であり、a≠0なので　
a~2(>0）を掛ければ
ac<0
となります。

お礼

ご回答の方ありがとうございます。
おかげで解決いたしました。ありがとうございました。