2次方程式の2つの解 α β

質問

2次方程式x^2+ax+b=0の2つの解をα、β(α<β)とするとき、α+β、α-βを2つの解とする2次方程式の1つがx^2+bx+a=0である。このとき、定数a、bの値を求めよ。ただし、b≠0とする。

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解と係数の関係より

α+β=-a・・・・(1)

αβ=b・・・・・・(2)

またx^2+bx+a=0の2解がα+β、α-βであるから
解と係数の関係より

(α+β)+(α-β)=-b

(α+β)(α-β)=a

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ここまでは考えたのですが、この後どうしたらいいのかわからず悩んでいます。
よろしくお願いします。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

α　＋　β　＝　－ａ　　・・・（あ）
αβ　＝　ｂ　　・・・（い）
（α＋β）　＋　（α－β）　＝　－ｂ　　・・・（う）
（α＋β）（α－β）　＝　ａ　　・・・（え）
という連立方程式になります。

解き方の方針ですが、
求めるのがａとｂなので、ａとｂ以外を消すことを考えます。
また、掛け算が入っている連立方程式ですので、
不要な解がでないように、掛け算以外の処理を先に行います。

まず、（う）より、
α　＝　－ｂ／２　　・・・（う’）
これを、（あ）、（い）、（え）に代入すれば、αが消えて、（う）と（う’）は用済みになります。

－ｂ／２　＋　β　＝　－ａ　　・・・（あ’）
－ｂβ／２　＝　ｂ　　・・・（い’）
（－ｂ／２　＋　β）（－ｂ／２　－　β）　＝　ａ　　・・・（え’）

（い’）より
－β／２　＝　１

以下、略。

ご参考になりましたら。

回答No.8

owata-www

再度すいません

＞[1]α≠０の時
β=-2であり、(1)、(4)より、

以下
-(α+β)=(α+β)(α-β)
⇔(α+β)(α-β+1)＝0
でした　これで普通に解けます

お騒がせしてすいません

回答No.7

info22

解答を作るのは質問者であることをお忘れなく！
回答者の回答に質問者は何かやられましたか？

回答者に解答をやらせるのでなく、回答者がアドバイスしてくれたことをヒントに自力解答を作って、補足にその計算の途中計算を書いて下さい。やる過程で分からないことは補足質問をして下さい。

参考までに、書くと
４つのα、β、a、bについての連立方程式を b≠0、α<β　の条件で解けば、(a,b,α,β)＝(5,6,-3,-2)
が得られます。題意を満たすことはチェック済みです。

やり方のヒント）
単に消去しやすい変数を消去して行けば変数が減って変数が求まります。変数が求まれば、計算過程を逆にたどって残りの変数を求めていくだけで解けます。
その際、a=0,a≠0の場合分けが必要になります。

回答No.6

owata-www

＃５です、訂正

[2]α=0の時
b=0となり、条件に反する

回答No.5

owata-www

(α+β)+(α-β)=-b・・・・(3)
(α+β)(α-β)=a・・・・(4)
とおく

(3)より、2α=-b⇔b=-2αであり、(2)に代入して
αβ=-2α

[1]α≠０の時
β=-2であり、(1)、(4)より、
α+β=(α+β)(α-β)
⇔(α+β)(α-β-1)＝0
α+β=0の時、α=2でありα<βの条件に反する
同様にα-β-1=0のとき、α=-1でありα<βの条件に反する

[2]α=0の時
α<βの条件に反する

問題合ってますか？

回答No.3

happy2bhardcore

2です。
（１）+（４）で計算ミスりました、すみません。

回答No.2

happy2bhardcore

α+β=-a・・・・(1)
αβ=b・・・・・・(2)
(α+β)+(α-β)=-b ・・・・(3)
(α+β)(α-β)=a・・・・(4)

（３）より　2α　＝　-ｂ
（２）を代入して　2α　＝　-αβ
αで割って　2　＝-β・・・・・・・・（5）

（1）+（4）より（α+β+1）（α-β）　＝0
α≠βなので、α+β＝-1
（５）を代入して　α　＝　1

これで、aとbを求められます。

回答No.1

koko_u_u

>この後どうしたらいいのか

いったい何を求めればよかったのかを思い出す。