2次方程式の解について

質問

問題
ax^2+bx+c 2つの解2+√5、2-√5であるとき2次方程式を作りなさい。

上記を
αβを用いて解こうとしたのですがｃとｂの2文字から先へ進めなくなり解けませんでした。解説お願いします。

回答No.2

zeta0208 · ベストアンサー

まずαβを用いトライしたということは解き方の方向性として間違ってはいないです。

α、βが２次方程式の解であるということは
a(x-α)(x-β)=0(ただしa≠0)であることを表しています。

a=1としてこれを展開すると
x^2-(α+β)x+αβ=0
となります。
つまり　a=1　b=-(α+β)　c=αβ
が求める二次方程式の一つということです。「解と係数の関係」といいます。
具体的な解答は#1さんの回答にあるとおり。

しかしα、βを解とする二次方程式作りなさいと言われた場合は実は無限につくれます。
すでに#1さんの回答によって一つは示されていのすが
a=1,2,2,3,4・・・と変えることによって
x^2-4x-1=0 は単に問題に対する答えの一つであって
2x^2-8x-2=0
3x^2-12x-3=0
4x^2-16x-4=0
といくらでも作れてしまうことがわかります。
僕が先生なら
2x^2-8x-2=0を示した生徒にはAAAの評価をしますね（笑）

おそらく質問者さんは中三あるいは高校生だと思いますがこの手の問題は普通はそれを避ける為に
ax^2+bx+c 2つの解2+√5、2-√5であるとき
ではなく
x^2+bx+cとか
2x^2+bx+cといったように解答が一つになるようにaの値は最初から式の中に示されていると思いますよ。

最後に一般に２次方程式
ax^2+bx+c=0 の解α、βと係数a,b,cの関係は
α+β=-b/a
αβ=c/a
となります。無理に公式と覚えなくてもやってれば自然と身につきます。

※尚、質問とは関係ありませんが、数学の中にでてくる「一般」とは数学用語で「すべての」という意味です。
数学の教科書、参考書で「一般」という言葉が出てきたらマーカーを入れましょう！！
直後に大事なことが書かれてあることが多いですよ。

回答No.4

zeta0208

ANo.2です。

解と係数の関係を使わない別解を示します。

そもそも　２つの解が2+√5、2-√5なので

x=2+√5　とおく
右辺の2を左辺に移項すると
x-2=√5
両辺を２乗すると
(x-2)^2=(√5)^2
x^2-4x+4=5
右辺の5を左辺に移項すると
x^2-4x-1=0

x=2-√5　とおく
右辺の2を左辺に移項すると
x-2=-√5
両辺を２乗すると
(x-2)^2=(-√5)^2
x^2-4x+4=5
右辺の5を左辺に移項すると
x^2-4x-1=0

つまり2+√5、2-√5を解とする方程式は
x^2-4x-1=0
であることが解る

解と係数を理解するほうがいかに簡単かわかると思いますが、たまには初心に帰ることも必要です。

回答No.3

ferien

＞ax^2+bx+c＝０……（１） 2つの解2+√5、2-√5であるとき2方次程式を作りなさい。
＞上記を
＞αβを用いて解こうとしたのですがｃとｂの2文字から先へ進めなくなり解けませんでした。
これで解けると思います。
2方次程式なので、ａ≠０
解と係数の関係より、α＋β＝-b/a，αβ＝c/a　だから
－ｂ／ａ＝（2+√5）＋（2-√5）＝４　より、ｂ＝－４ａ
ｃ／ａ＝（2+√5）（2-√5）
＝２^2－（√5）^2
＝ー４－５
＝－１　より、ｃ＝－ａ
（１）へ代入すると、
ａｘ^2－４ａｘ－ａ＝０
ａ（ｘ^2－４ｘ－１）＝０
ａ≠０だから、よって、ｘ^2－４ｘ－１＝０

どうでしょうか？

回答No.1

noname#157574

2つの解が2+√5と2-√5であることから{x-(2+√5)}{x-(2-√5)}=0が成り立つ。
これからx²-4x-1=0……（答）

一般にα，βを解にもつ2次方程式についてx²-(α+β)x+αβ=0が成り立つ。